JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus I » Fungsi Gamma dan Fungsi Beta › Penyelesaian Integral Fungsi Gamma dan Fungsi Beta
Integral

Penyelesaian Integral Fungsi Gamma dan Fungsi Beta

Sering kali permasalahan integral dapat diselesaikan dengan memanfaatkan fungsi gamma dan fungsi beta. Biasanya, kita perlu melakukan pemisalan terlebih dahulu untuk mengubahnya menjadi bentuk fungsi gamma atau fungsi beta.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Setelah mempelajari fungsi gamma dan fungsi beta pada artikel sebelumnya, sekarang kita akan mencoba menyelesaikan integral dengan menggunakan fungsi gamma dan fungsi beta.

Penyelesaian Integral dengan Fungsi Gamma

Sering kali permasalahan integral dapat diselesaikan dengan memanfaatkan fungsi gamma. Biasanya, kita melakukan pemisalan terlebih dahulu untuk mengubahnya menjadi bentuk fungsi gamma. Perhatikan beberapa contoh soal berikut.

Contoh 1:

Tentukan \( \int_0^∞ x^6 e^{-3x} \ dx\)!

Pembahasan:

Misalkan \(u=3x\) maka \(x=u/3\) dan \(dx=1/3 \ du\). Perhatikan bahwa untuk \(x=0→u=0\) dan \(x=∞→u=∞\). Sehingga,

Gambar

Perhatikanlah kembali di atas bahwa \(n-1=6\) sehingga \(n=7\).

Contoh 2:

Carilah \(∫_0^1 (x⋅\ln ⁡x)^3 \ dx\)!

Pembahasan:

Misalkan \(-u = \ln x\) maka \(x = e^{-u}\) dan \(dx = -e^{-u} \ du\). Untuk \(x = 0\) maka \(u = +∞\) dan untuk \(x = 1\) maka \(u = 0\). Sehingga,

Gambar

Kita misalkan lagi bahwa \(4 u = z\) maka \(u = z/4\) dan \(du = dz/4\). Untuk \(u = 0\) maka \(z = 0\) dan untuk \(u = ∞\) maka \(z = ∞\). Dengan demikian, kita peroleh

Gambar
Penyelesaian Integral dengan Fungsi Beta

Terkadang kita juga akan menjumpai permasalahan integral yang bisa diselesaikan dengan menggunakan fungsi beta. Perhatikan beberapa contoh soal berikut.

Contoh 3:

Tentukan \(∫_0^2 \frac{x^2}{\sqrt{2-x}} \ dx \)!

Pembahasan:

Misalkan \(x = 2u\), maka \(u = x/2\) dan \(dx = 2 du\). Untuk \(x = 0\) maka \(u = 0\) dan saat \(x = 2\) maka \(u = 1\), sehingga

Gambar

Misalkan lagi, \(z= 1-u\), maka \(u = 1-z\) dan \(du = -dx\). Untuk \(u = 0\) maka \(z = 1\) dan untuk \(u = 1\) maka \(z = 0\). Dengan demikian, kita peroleh

Gambar

Contoh 4:

Carilah \(∫_0^2 (4-x^2)^{3/2} \ dx\)!

Pembahasan:

Misalkan \(x^2=4u\) maka \(x=2\sqrt{u}\) dan \(dx=u^{-1/2} \ du\). Untuk \(x = 0\) maka \(u = 0\) dan untuk \(x = 2\) maka \(u = 1\), sehingga

Gambar
Artikel Terkait

Hidup itu sederhana, kita yang membuatnya sulit.