JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus I » Integral Tak Wajar › Integral dengan Batas Tak Hingga
Integral

Integral dengan Batas Tak Hingga

Banyak penerapan integral tentu dalam fisika, ekonomi dan teori peluang yang menghendaki batas atas atau batas bawahnya (atau keduanya) menjadi tak terhingga. Integral demikian dinamakan integral tak wajar dengan batas pengintegralan yang tak terhingga.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Dalam mendefinisikan \(∫_a^b f(x) dx\), sering diandaikan bahwa selang [a,b] terhingga. Walaupun demikian, banyak penerapan integral tentu dalam fisika, ekonomi, dan teori peluang yang menghendaki a atau b (atau keduanya) menjadi tak terhingga. Oleh karena itu, kita akan menjumpai beberapa integral dalam bentuk seperti berikut:

Gambar

Integral demikian dinamakan integral tak wajar dengan batas pengintegralan yang tak terhingga.

Satu Batas Tak Terhingga

Perhatikan fungsi \(f(x)=xe^{-x}\) dan integral dari \(∫_0^1 xe^{-x} dx\) atau \(∫_0^2 xe^{-x} dx\) atau \(∫_0^b xe^{-x} dx\), di mana b adalah sebarang bilangan positif. Seperti yang bisa anda lihat pada Tabel 1 di bawah, ketika kita meningkatkan batas atas pada integral tentu, nilai integral (area di bawah kurva) akan meningkat.

Tabel 1. Ilustrasi penyelesaian integral \(∫_0^∞ xe^{-x} dx\)

Gambar

Untuk menyelesaikan \(∫_0^∞ xe^{-x} dx\), kita mulai dengan mengintegralkan dari 0 ke sembarang batas atas, katakanlah \(b\), di mana dengan menggunakan teknik integral parsial memberikan hasil berikut:

Gambar

Sekarang, bayangkanlah bahwa nilai \(b\) mendekati takhingga (Lihat Tabel 1 di atas). Seperti yang ditunjukkan pada penghitungan di atas, jika kita membiarkan \(b→∞\), maka nilai integral tentu akan konvergen ke 1. Oleh karena itu, kita dapat mendefinisikan

Gambar

Di bawah ini kita cantumkan definisi yang umum.

DEFINISI:

Gambar

Apabila limit pada ruas kanan ada dan bernilai terhingga, kita katakan bahwa integral tak wajar yang bersangkutan konvergen dan memiliki nilai yang terhingga itu. Jika tidak, integral disebut divergen.

CONTOH 1:

Tentukan, jika mungkin integral \(∫_{-∞}^{-1} xe^{-x^2} \ dx\).

Penyelesaian:

Gambar

Sehingga,

Gambar

Kita katakan bahwa integral tak wajar di atas konvergen dengan nilai \(-1/2e\).

CONTOH 2:

Tentukan, jika mungkin, \(∫_0^∞ \sin{⁡x} \ dx\).

Penyelesaian:

Gambar

Limit terakhir ini tak ada, jadi integral tak wajar di atas adalah divergen. Perhatikan arti geometri integral \(∫_0^∞ \sin{⁡x} \ dx\) itu untuk dapat memahami hasil tersebut (Gambar 1).

Gambar

Gambar 1

Kedua batas integral tak terhingga

Kita mulai dengan definisi berikut.

DEFINISI:

Jika baik \(∫_∞^0 f(x) \ dx\) dan \(∫_0^∞ f(x) \ dx\) konvergen, maka \(∫_{-∞}^∞ f(x) \ dx\) dikatakan konvergen dan mempunyai nilai

Gambar

Jika tidak, \(∫_{-∞}^∞ f(x) \ dx\) dikatakan divergen.

CONTOH 3:

Hitunglah \(∫_{-∞}^∞ \frac{1}{(1+x^2)} \ dx\) atau katakanlah apakah ia konvergen atau divergen.

Penyelesaian:

Gambar

Karena integran adalah sebuah fungsi genap, maka

Gambar

Dengan demikian,

Gambar

CONTOH 4:

Tunjukkan bahwa

Gambar

Penyelesaian:

a. Untuk menjawab soal ini, kita perlu mengetahui apa itu fungsi ganjil dan fungsi genap terlebih dahulu. Sekarang perhatikan

Gambar

Karena \(xe^{-x^2/2}\) adalah fungsi ganjil, maka

Gambar

Sehingga,

Gambar

(b) Karena \(e^{-x^2/2}\) adalah fungsi genap dan karena

Gambar

maka,

Gambar

Kita kemudian menerapkan integral parsial dan Aturan I’Hopital.

Gambar

Karena \(x^2 e^{-x^2/2}\) adalah fungsi genap, maka

Gambar
Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Indonesia: Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

Kesalahan orang-orang pandai ialah menganggap yang lain bodoh, dan kesalahan orang-orang bodoh ialah menganggap orang lain pandai.