JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Kalkulus I » Fungsi › Fungsi dan Grafik Fungsi
Fungsi

Fungsi dan Grafik Fungsi

Jika variabel \(y\) bergantung pada variabel \(x\) sedemikian rupa sehingga setiap nilai \(x\) menentukan tepat satu nilai \(y\), maka kita mengatakan bahwa \(y\) adalah fungsi dari \(x\).


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Hub. WA: 0812-5632-4552

Salah satu kerangka penting dalam kalkulus adalah analisis hubungan antar variabel. Hubungan semacam itu bisa dideskripsikan dalam bentuk grafik, rumus (formula), secara numerik dengan tabel, atau dalam kata-kata.

Banyak hukum ilmiah dan prinsip-prinsip teknik menggambarkan bagaimana satu kuantitas bergantung pada yang lain. Gagasan ini diresmikan pada tahun 1673 oleh Gottfried Wilhelm Leibniz yang menciptakan istilah fungsi untuk menunjukkan ketergantungan satu kuantitas pada kuantitas lainnya, seperti dijelaskan dalam definisi berikut.

Definisi: Fungsi

Jika variabel \(y\) bergantung pada variabel \(x\) sedemikian rupa sehingga setiap nilai \(x\) menentukan tepat satu nilai \(y\), maka kita mengatakan bahwa \(y\) adalah fungsi dari \(x\).

Terdapat 4 metode untuk merepresentasikan fungsi, yaitu

  1. Secara numerik dengan tabel
  2. Secara aljabar dengan rumus (formula). Misalnya, rumus \(C = 2πr\) menyatakan keliling (\(C\)) dari lingkaran sebagai fungsi jari-jarinya (\(r\)). Hanya ada satu nilai \(C\) untuk setiap nilai \(r\).
  3. Secara geometri dengan grafik
  4. Secara verbal dengan kata-kata. Sebagai contoh, Hukum Gravitasi Universal Isaac Newton sering dinyatakan sebagai berikut: Gaya tarik gravitasi antara dua benda di Alam Semesta berbanding lurus dengan perkalian massa di antara kedua benda tersebut dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak di antara kedua benda. Atau dapat dinyatakan dalam rumus berikut.
  5. \[ F = G \frac{m_1m_2}{r^2} \]

Grafik Fungsi

Bilamana daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan riil, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat. Dan grafik fungsi \(f\) adalah grafik dari persamaan \(y=f(x)\). Gambar 1 berikut ini menampilkan grafik dari beberapa fungsi.

Gambar

Gambar 1. Contoh grafik dari beberapa fungsi

Grafik dapat memberikan informasi visual yang berharga tentang suatu fungsi. Namun, tidak setiap kurva pada bidang \(xy\) adalah grafik suatu fungsi. Sebagai contoh, perhatikan kurva pada Gambar 2, yang dipotong pada dua titik berbeda, (a, b) dan (a, c), dengan garis vertikal.

Gambar

Gambar 2. Kurva ini bukan grafik fungsi

Kurva ini tidak dapat berupa grafik \(y = f(x)\) untuk fungsi \(f\) apa pun. Ini karena

Gambar

yang mana tidak mungkin, karena \(f\) tidak dapat mempunyai dua nilai yang berbeda untuk \(a\). Kita nyatakan hasil penting ini dalam definisi berikut.

Definisi: Uji Garis Vertikal

Kurva pada bidang \(xy\) adalah grafik dari fungsi \(f\) jika dan hanya jika tidak ada garis vertikal yang memotong kurva lebih dari satu kali.

Sebagai contoh, grafik persamaan \( x^2 + y^2 = 25 \) adalah lingkaran berjari-jari 5 yang berpusat pada titik asal (origin) seperti ditampilkan Gambar 3 berikut. Karena garis vertikal memotong grafik lebih dari satu kali, maka persamaan ini tidak mendefinisi \(y\) sebagai fungsi dari \(x\).

Gambar

Gambar 3. Kurva \( x^2 + y^2 = 25 \)

Contoh 1:

Buatlah sketsa grafik dari fungsi:

Gambar

Penyelesaian:

Grafik dari fungsi ini ditampilkan pada Gambar 4. Untuk membuat grafik ini, buatlah sebuah tabel nilai di mana untuk sumbu \(x\) merupakan daerah asal (domain) fungsi dan sumbu \(y\) merupakan daerah hasil (range) fungsi, dan hubungkan titik-titik itu dalam sebuah kurva.

Daerah asal mula (domain) fungsi ini adalah himpunan semua bilangan riil \(R\) dan daerah hasilnya yaitu \( \{ y: y \geq -2 \} \). Dengan demikian, akan kita peroleh grafik fungsi yang diperlihatkan dalam Gambar berikut

Gambar

Gambar 4. Grafik fungsi \(y = x^2-2\)

Contoh 2:

Buatlah sketsa grafik dari fungsi:

Gambar

Penyelesaian:

Grafik dari fungsi ini ditunjukkan pada Gambar 5. Sama seperti pada Contoh 1, untuk memperoleh grafik ini kita membuat sebuah tabel nilai di mana untuk sumbu \(x\) merupakan daerah asal fungsi dan sumbu \(y\) merupakan daerah hasil fungsi, dan hubungkan titik-titik itu dalam sebuah kurva. Kita gunakan daerah asal mula (domain natural).

Daerah asal mula untuk fungsi ini adalah semua bilangan riil kecuali 1 dan daerah hasil fungsi adalah \( y: y \neq 0 \). Dengan demikian, akan kita peroleh grafik fungsi yang diperlihatkan dalam Gambar berikut

Gambar

Gambar 5. Grafik fungsi \( y = \frac{2}{x-1} \)

Cukup sekian ulasan singkat mengenai fungsi dan grafik fungsi dalam artikel ini. Terima kasih telah membaca artikel ini sampai selesai. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, boleh dibantu share ke teman-temannya, supaya mereka juga bisa belajar dari artikel ini.

Sumber:

Anton, Howard., et al. (2012). Calculus, 10th ed. Hoboken: John Wiley & Sons, Inc.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

If you want something in your life you've never had, you'll have to do something you've never done.