Contoh 1:

Carilah \( \frac{dy}{dx}\) untuk fungsi implisit \(4x^2y - 3y = x^3 - 1\).

Pembahasan:

Cara 1: Modifikasi fungsi implisit sehingga menjadi fungsi eksplisit sebagai berikut.

Kemudian dengan menggunakan rumus turunan pembagian, kita peroleh turunan dari fungsi eksplisit di atas sebagai berikut:

Cara 2: Turunkan kedua ruas persamaannya terhadap \(x\) secara bersamaan, yakni

Untuk mencari turunan pada ruas kiri persamaannya, kita bisa memakai aturan perkalian, sedangkan untuk ruas kanannya bisa menggunakan rumus dasar turunan. Kita peroleh berikut ini:

Walaupun jawaban ini kelihatan berlainan dari jawaban yang diperoleh dengan cara pertama, tetapi keduanya adalah sama. Untuk membuktikannya, gantikan \( y = \frac{x^3 - 1}{4x^2 - 3}\) dalam persamaan untuk \(\frac{dy}{dx}\) yang baru saja diperoleh,

Jadi, kesimpulannya adalah baik cara 1 maupun cara 2 menghasilkan jawaban sama. Pertanyaannya adalah menggunakan cara yang mana? Dalam penerapannya, terkadang dengan menggunakan cara 1 saja sudah cukup, tetapi terkadang juga akan dijumpai soal di mana akan jauh lebih mudah menggunakan cara yang kedua.

Contoh 2:

Carilah \(\frac{dy}{dx}\) untuk fungsi implisit \(x^2 + 5y^3 = x + 9\).

Pembahasan:

Kita dapat mencari turunan fungsi implisit ini dengan cara 1 maupun cara 2. Namun, cara 2 tampaknya akan lebih sederhana. Turunkan kedua ruas persamaannya sehingga kita peroleh sebagai berikut.

Contoh 3:

Carilah turunan dari fungsi implisit berikut: \( 3 \ln xy + \sin y = x^2 \).

Pembahasan:

Fungsi implisit dalam soal ini bisa disederhanakan terlebih dahulu menjadi:

Selanjutnya, dengan menurunkan kedua ruas persamaan fungsi implisit di atas, kita peroleh:

Contoh 4:

Carilah turunan dari fungsi \( y = (\sin x)^x \).

Pembahasan:

Perhatikan bahwa fungsi dalam soal mengandung eksponen yang merupakan variabel sehingga kita tidak bisa menggunakan rumus \( \displaystyle \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1} \). Untuk mencari turunan dari fungsi tersebut, kita bisa memberikan logaritma natural pada kedua ruasnya sehingga diperoleh sebuah fungsi implisit.

Untuk mencari turunan dari fungsi implisit di atas, kita bisa turunkan kedua ruas persamaannya, yakni:

Contoh 5:

Tentukan \( \frac{dy}{dx} \) atau turunan implisit berikut: \( (y+1)^2 = x^2-x \)

Pembahasan:

Diferensialkan kedua ruas pada persamaan implisit terhadap \(x\), yaitu:

Contoh 6:

Tentukan \( \frac{dy}{dx} \) atau turunan implisit berikut: \( x^2+2xy-5y^2 = 1 \)

Pembahasan:

Diferensialkan kedua ruas pada persamaan implisit terhadap \(x\), yaitu:

Contoh 7:

Carilah \( \frac{dy}{dx}\) menggunakan Teorema 1 di atas untuk fungsi implisit \(4x^2y - 3y = x^3 - 1\).

Pembahasan:

Pertama, kita nyatakan fungsi implisitnya ke dalam bentuk \( F(x,y)=0 \), yakni:

Sesuai Teorema 1 di atas, \( \frac{dy}{dx} = - \frac{F_x(x,y)}{ F_y(x,y) } \). Oleh karena itu, kita cari \( F_x(x,y) \) (turunan \(F(x,y)\) terhadap \(x\)) dan \( F_y(x,y) \) (turunan \(F(x,y)\) terhadap \(y\)) terlebih dahulu, yakni:

Dengan demikian, kita peroleh \( \frac{dy}{dx}\) yaitu:

Ingat bahwa fungsi implisit \(4x^2y - 3y = x^3 - 1\) bisa kita tuliskan menjadi \( y = \frac{x^3-1}{4x^2-3} \) dan jika disubstitusikan ke \( \frac{dy}{dx} \) yang kita peroleh di atas, maka

Perhatikan bahwa jawaban yang kita peroleh sama dengan jawaban pada Contoh 1 yang kita bahas sebelumnya.

Contoh 8:

Untuk fungsi implisit \(x^2 + 5y^3 = x + 9\), carilah \(\frac{dy}{dx}\) menggunakan Teorema 1 di atas.

Pembahasan:

Pertama, kita nyatakan fungsi implisitnya ke dalam bentuk \( F(x,y)=0 \), yakni:

Sesuai Teorema 1 di atas, \( \frac{dy}{dx} = - \frac{F_x(x,y)}{ F_y(x,y) } \). Oleh karena itu, kita cari \( F_x(x,y) \) dan \( F_y(x,y) \) terlebih dahulu, yakni:

Dengan demikian, kita peroleh \( \frac{dy}{dx}\) yaitu:

Perhatikan bahwa jawaban yang kita peroleh sama dengan jawaban pada Contoh 2 yang kita bahas sebelumnya.