JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus I » Fungsi Gamma dan Fungsi Beta › Penyelesaian Integral Trigonometri dengan Fungsi Beta
Integral

Penyelesaian Integral Trigonometri dengan Fungsi Beta

Dalam beberapa kasus, kita akan menjumpai bentuk pengintegralan yang melibatkan fungsi trigonometri. Ada beberapa bentuk integral trigonometri yang dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan fungsi beta.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Dalam beberapa kasus, kita mungkin akan menjumpai bentuk pengintegralan yang melibatkan fungsi trigonometri. Di beberapa artikel sebelumnya, kita telah mencoba menyelesaikan integral tersebut dengan menggunakan teknik integral pangkat trigonometri dan teknik substitusi trigonometri.

Namun, ada kalanya kita tidak bisa menyelesaikan integral tersebut dengan cara demikian atau bisa diselesaikan tapi membutuhkan proses yang cukup rumit.

Di sini kita akan melihat bahwa ada beberapa bentuk integral trigonometri yang dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan fungsi beta. Perhatikanlah dua contoh khusus integral trigonometri berikut

Gambar

Dua integral ini tampak rumit, tapi sebenarnya sangat mudah diselesaikan dengan menggunakan bantuan fungsi beta. Untuk itu, mari kita lihat bagaimana fungsi beta membantu kita menyelesaikan integral tersebut.

Sebagaimana telah kita ketahui bahwa fungsi beta dinyatakan sebagai

Gambar

Selain itu, fungsi Beta juga dapat dinyatakan dalam bentuk integral trigonometri yaitu:

Gambar

Rumus fungsi beta dalam bentuk trigonometri di atas dapat dibuktikan dengan sangat mudah. Perhatikanlah bahwa ketika \( x = \sin^2 θ \) disubstitusikan ke dalam persamaan fungsi beta, kita peroleh

Gambar

Ingat bahwa turunan dari \( x = \sin^2 θ \) adalah \(dx/dθ = 2 \sin θ \ \cos θ\), sehingga \( dx = 2 \sin θ \ \cos θ \ dθ \).

Sekarang kita siap untuk menjawab dua contoh integral trigonometri yang diberikan di atas.

Contoh 1:

Selesaikanlah integral berikut:

Gambar

Pembahasan:

Ingat kembali rumus

Gambar

Integral pada Contoh 1 ini mirip dengan rumus fungsi Beta dalam integral trigonometri, sehingga

Gambar

Dengan demikian,

Gambar

Contoh 2:

Selesaikanlah integral berikut:

Gambar

Pembahasan:

Anda mungkin masih ingat bahwa

Gambar

Dengan demikian,

Gambar

Berdasarkan rumus fungsi Beta dalam bentuk integral trigonometri, maka diperoleh

Gambar

Dengan demikian, kita peroleh

Gambar
Artikel Terkait

Hidup adalah mimpi bagi mereka yang bijaksana, permainan bagi mereka yang bodoh, komedi bagi mereka yang kaya, dan tragedi bagi mereka yang miskin.