Kalkulus I   »   Aplikasi Turunan   ›  Aplikasi Turunan: Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi

Aplikasi Turunan: Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi

Dalam hidup ini, kita sering menghadapi masalah guna mendapatkan jalan terbaik untuk melakukan sesuatu. Kadang kala masalah tersebut dapat dirumuskan sehingga akan melibatkan memaksimumkan dan meminimumkan fungsi tertentu.

Dalam hidup ini, kita sering menghadapi masalah guna mendapatkan jalan terbaik untuk melakukan sesuatu. Sebagai contoh, seorang petani ingin memilih kombinasi hasil panen yang dapat menghasilkan keuntungan terbesar. Seorang dokter akan menentukan dosis obat yang terkecil untuk menyembuhkan suatu penyakit. Seorang kepala pabrik akan menekan sekecil mungkin biaya pendistribusian produknya.

Kadang kala masalah tersebut dapat dirumuskan sehingga akan melibatkan memaksimumkan dan meminimumkan fungsi tertentu. Bila demikian, metode kalkulus menyediakan sarana yang ampuh untuk memecahkan masalah seperti itu.

Andaikan kita mengetahui fungsi \(f\) dan domain (daerah asal) \(S\) seperti pada Gambar 1. Tugas kita yang pertama adalah menentukan apakah \(f\) memiliki nilai maksimum dan nilai minimum pada \(S\). Anggap bahwa nilai-nilai tersebut ada, kita ingin mengetahui lebih lanjut di mana dalam \(S\) nilai-nilai itu berada.

Gambar 1

Kita mulai dengan memperkenalkan suatu definisi yang tepat.

Pertanyaan Eksistensi.

Apakah \(f\) mempunyai nilai maksimum (atau minimum) pada \(S\)? Jawabannya tergantung pertama-tama pada himpunan \(S\) tersebut. Ambillah \(f(x)=1/x\) pada \(S=(0,∞)\); fungsi ini tidak mempunyai nilai maksimum ataupun minimum (Gambar 2). Akan tetapi, fungsi yang sama pada \(S = [1,3]\) mempunyai nilai maksimum \(f(1)=1\) dan nilai minimum \(f(3)=1/3\). Pada \(S = (1,3]\), \(f\) tidak mempunyai nilai maksimum sedangkan nilai minimumnya adalah \(f(3)=1/3\).

Gambar 2

Jawaban apakah \(f\) mempunyai nilai maksimum atau minimum juga tergantung pada tipe fungsi. Ambillah contoh fungsi tak kontinu \(g\) (Gambar 3) yang didefinisikan oleh

Pada \(S=[1,3], \ g\) tidak mempunyai nilai maksimum (menjadi cukup dekat ke 2 tetapi tidak pernah mencapainya). Tetapi \(g\) mempunyai nilai minimum \(g(2)=0\).

Gambar 3

Terdapat sebuah teorema bagus yang menjawab pertanyaan eksistensi untuk beberapa masalah yang muncul dalam praktek.

Perhatikan kata-kata kunci: ‘\(f\) harus kontinu dan himpunan \(S\) harus berupa selang tertutup’.

Di mana terjadinya nilai-nilai ekstrim?

Biasanya fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan mempunyai suatu selang \(I\) sebagai daerah asalnya. Tetapi selang ini boleh berupa sebarang dari sembilan tipe selang yang telah dibahas. Beberapa dari selang ini memuat titik-titik ujung; beberapa tidak.

Misalnya, \(I=[a,b]\) memuat titik ujung dua-duanya; [a,b) hanya memuat titik ujung kiri; \((a,b)\) tidak memuat titik ujung manapun. Nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada ttik-titik ujung (lihat Gambar 4).

Gambar 4

Jika \(c\) sebuah titik di mana \(f'(c)=0\), kita sebut \(c\) titik stasioner. Nama itu diturunkan dari fakta bahwa pada titik stasioner, grafik \(f\) mendatar, karena garis singgung mendatar. Nilai-nilai ekstrim juga sering kali terjadi pada titik-titik stasioner (lihat Gambar 5).

Akhirnya , jika \(c\) adalah titik dalam dari \(I\) di mana \(f'\) tidak ada, kita sebut \(c\) titik singular. Ini merupakan titik di mana grafik \(f\) mempunyai sudut tajam, garis singgung vertikal atau mungkin berupa lompatan (atau di dekatnya ia bergoyang sangat buruk). Nilai-nilai ekstrim dapat terjadi pada titik-titik singular (Gambar 6), walaupun dalam masalah-masalah praktis hal ini sangat jarang terjadi.

Ketiga jenis titik ini (titik ujung, titik stasioner, dan titik singular) merupakan titik-titik kunci dari teori maks-min. Sebarang titik dalam daerah asal fungsi \(f\) yang termasuk salah satu dari tiga tipe ini disebut sebuah titik kritis \(f\).

Mengingat teorema A dan B, sekarang kita dapat menyatakan suatu prosedur yang sangat sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu \(f\) pada selang tertutup \(I\).

Langkah 1. Carilah titik-titik kritis dari \(f\) pada \(I\).

Langkah 2. Hitunglah \(f\) pada setiap titik kritis. Yang terbesar adalah nilai maksimum; yang terkecil adalah nilai minimum.

Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Indonesia: Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, klik tombol suka di bawah ini dan jika ada pembahasan yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.