JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus I » Teknik Pengintegralan › Integral Fungsi Rasional
Integral

Integral Fungsi Rasional

Persoalan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada persoalan mengintegralkan fungsi rasional sejati. Fungsi f dan g dinamakan fungsi rasional sejati jika derajat atau pangkat pembilang kurang dari derajat penyebut.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Menurut definisi, suatu fungsi rasional adalah hasilbagi dua fungsi suku banyak (polinom). Misalnya,

Gambar

Fungsi \(f\) dan \(g\) dinamakan fungsi rasional sejati jika derajat atau pangkat pembilang kurang dari derajat penyebut. Sebaliknya, fungsi \(h\) adalah fungsi rasional tidak sejati karena derajat pembilang lebih dari derajat penyebut. Fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati. Misalnya,

Gambar

Hasil di atas kita peroleh dengan melakukan pembagian pembilang oleh penyebut, seperti dapat dilihat pada perhitungan berikut.

Gambar

Oleh karena fungsi suku banyak mudah diintegralkan, maka persoalan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada persoalan mengintegralkan fungsi rasional sejati. Tetapi apakah fungsi rasional sejati selalu dapat diintegralkan? Dalam teori, jawabannya selalu dapat, walaupun pencariannya tidak selalu mudah. Perhatikan kasus fungsi \(f\) dan \(g\) di atas.

CONTOH 1:

Gambar

Penyelesaian:

Dengan mengggunakan substitusi \(u=x+1\), maka

Gambar

CONTOH 2:

Gambar

Penyelesaian:

Pikirkan dahulu substitusi \(u=x^2-4x+8\) sehingga \(du=(2x-4) \ dx\). Kemudian kita peroleh,

Gambar

Dalam integral kedua, buatlah menjadi kuadrat murni, sebagai berikut.

Gambar

Dengan demikian, kita peroleh

Gambar

Adalah fakta bahwa tiap fungsi rasional sejati dapat ditulis sebagai jumlah fungsi-fungsi rasional sejati yang sederhana seperti dalam Contoh 1 dan Contoh 2. Anda harus lebih teliti.

Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial (Faktor Linear).

Menjumlahkan pecahan merupakan latihan baku aljabar. Misalnya,

Gambar

Untuk keperluan kita, yang hendak kita pelajari ialah pengerjaan yang sebaliknya yaitu menjabarkannya menjadi pecahan parsial. Kita perhatikan penyebut dan mempelajari berbagai kasus.

CONTOH 3: Faktor linear yang berlainan

Jabarkanlah \((3x-1)/(x^2-x-6)\) menjadi pecahan parsial dan kemudian tentukan integralnya yang tak tentu.

Penyelesaian:

Oleh karena \(x^2-x-6=(x+2)(x-3)\) maka penjabaran pecahan tersebut dapat ditulis dalam bentuk

Gambar

Tugas kita sekarang ialah menentukan A dan B sehingga (1) menjadi suatu kesamaan. Untuk ini kita hilangkan pecahan, sehingga kita memperoleh

Gambar

atau; dengan kesetaraan (ekivalensi);

Gambar

Perhatikan persamaan (3) yang mana akan bernilai benar jika dan hanya jika koefisien dengan pangkat yang sama di ruas kiri dan ruas kanan adalah sama, maka

Gambar

Dari dua persamaan tersebut kita peroleh \(A=7/5\) dan \(B=8/5\). Sehingga

Gambar

Dengan demikian,

Gambar

CONTOH 4: Faktor Linear Berganda

Gambar

Penyelesaian:

Uraian penyebut adalah \(x(x+1)(x-3)\). Karena itu kita dapat menulis

Gambar

Di sini Kita berusaha menemukan A, B, C. Kita hilangkan pecahan-pecahan

Gambar

Jika kita substitusikan nilai \(x=0, x=-1\) dan \(x=3\), kita peroleh

Gambar

atau \(A=-1,B=-1/2,C=3/2\). Sehingga

Gambar

CONTOH 5: Faktor Linear yang Berulang

Gambar

Penyelesaian:

Sekarang penjabaran menjadi pecahan parsial adalah

Gambar

Kita akan mencari A dan B. Setelah penyebut-penyebut dihilangkan kita peroleh

Gambar

Jika kita substitusikan dengan nilai yang sesuai \(x = 3\) dan nilai \(x\) lain sebarang, misalnya \(x = 0\). Kita peroleh \(B = 3\) dan \(A = 1\). Sehingga

Gambar

CONTOH 6: Ada beberapa faktor linear berbeda, dan ada yang berulang

Gambar

Penyelesaian:

Kita jabarkan pemecahan integran dengan cara berikut.

Gambar

Setelah pecahan-pecahan dihilangkan kita peroleh

Gambar

Dengan substitusi \(x = 1, x = -3\), dan \(x = 0\), kita memperoleh \(C = 2, A = 4\), dan \(B = -1\). Sehingga

Gambar

Perhatikan bahwa ada dua pecahan yang berbentuk \(B((x-1)\) dan \(C/(x-1)^2\) dalam penjabaran di atas. Aturan umumnya adalah sebagai berikut. Untuk tiap faktor \((ax+b)^k\) dalam penyebut, ada \(k\) suku dalam penjabaran pecahan parsial, yaitu

Gambar
Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial (Faktor Kuadrat)

Dalam memfaktorkan penyebut suatu pecahan kemungkinan ada faktor kuadrat, misalnya \(x^2+1\), yang tak dapat lagi diuraikan menjadi faktor-faktor linear tanpa mengenalkan bilangan kompleks.

CONTOH 7: Faktor kuadrat tunggal

Jabarkan menjadi jumlah pecahan parsial, bentuk

Gambar

Kemudian tentukan integralnya.

Penyelesaian:

Kita tulis pecahan tersebut sebagai

Gambar

Untuk menentukan konstanta A, B, dan C kita kalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan \((4x^2+1)(x^2+1)\). Sehingga kita memperoleh

Gambar

Apabila kita ambil \(x = -1/4, x = 0\), dan \(x = 1\), kita mendapat

Gambar

Dengan demikian,

Gambar

CONTOH 8: Faktor kuadrat berulang

Gambar

Penyelesaian:

Penjabaran di sini adalah

Gambar

Setelah kita lakukan perhitungan seperlunya, kita akan memperoleh \(A = 1, B = -1, C = 3, D = -5\), dan \(E = 0\). Sehingga

Gambar

IKHTISAR:

Untuk menjabarkan sebuah fungsi rasional \(f(x)=p(x)/q(x)\) menjadi jumlah pecahan parsial, kita perlu melakukan langkah-langkah sebagai berikut.

Langkah 1

Apabila \(f(x)\) tak sejati, yaitu apabila derajat \(p(x)\) paling sedikit sama dengan derajat \(q(x)\), bagilah terlebih dahulu \(p(x)\) dengan \(q(x)\). Kita akan memperoleh

Gambar

Langkah 2

Uraikan \(D(x)\) menjadi hasilkali faktor-faktor linear dan kuadrat yang tak dapat lagi diuraikan menjadi faktor-faktor linear dengan koefisien riil. Menurut suatu teorema dalam aljabar hal ini selalu mungkin.

Langkah 3

Untuk tiap faktor yang berbentuk \((ax+b)^k\), penjabaran mungkin berbentuk

Gambar

Langkah 4

Untuk tiap faktor yang berbentuk \((ax^2+bx+c)^m\), penjabaran mungkin menjadi

Gambar

Langkah 5

Samakan \(N(x)/D(x)\) dengan jumlah semua suku yang diperoleh dalam Langkah ke 3 dan ke 4. Banyaknya konstanta yang harus ditentukan harus sama dengan derajat penyebut, yaitu \(D(x)\).

Langkah 6

Kalikan ruas kiri dan kanan persamaan yang diperoleh dalam Langkah 5 dengan \(D(x)\). Kemudian tentukan konstanta yang harus dicari. Ini dapat diperoleh dengan dua cara: (1) Samakan koefisien dari suku yang derajatnya sama, (2) Substitusikanlah nilai-nilai (yang sesuai) tertentu dalam variabel \(x\).

Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Indonesia: Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

Tak peduli bagaimana kerasnya kehidupanmu di masa lalu, kamu selalu bisa memulainya lagi.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: