JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus I » Turunan Fungsi › Definisi Turunan
Turunan

Definisi Turunan

Banyak fenomena dalam dunia nyata yang melibatkan perubahan kuantitas seperti kecepatan roket, inflasi mata uang, jumlah bakteri dalam suatu kultur, dan sebagainya. Fenomena-fenomena tersebut sering kali dapat dijelaskan dengan menggunakan konsep turunan.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Banyak fenomena dalam dunia nyata yang melibatkan perubahan kuantitas seperti kecepatan roket, inflasi mata uang, jumlah bakteri dalam suatu kultur, intensitas goncangan gempa bumi, tegangan sinyal listrik, dan sebagainya.

Fenomena-fenomena tersebut sering kali dapat dijelaskan dengan menggunakan konsep turunan atau derivatif, yakni alat matematika untuk mempelajari tingkat perubahan satu kuantitas relatif terhadap yang lain.

Kita akan mulai penjelasan dengan memberikan definisi dari turunan terlebih dahulu. Untuk mamahami definisi turunan, anda perlu mengenal konsep limit. Jika anda belum paham mengenai materi limit, anda tidak perlu khawatir. Di website ini kami telah menyediakan materi tersebut.

Apabila fungsi \(f(x)\) mempunyai turunan untuk setiap \(x\) anggota domain \(D\), dengan \(D∈R\) (bilangan real) maka diperoleh turunan fungsi dari \(f(x)\) yang dirumuskan:

Gambar

Perhatikan bahwa \( f'(x) \) menyatakan turunan dari fungsi \(f(x)\). Untuk lebih jelasnya, kita nyatakan dalam definisi berikut:

DEFINISI:

Turunan fungsi \(f\) adalah fungsi lain \(f'\) (dibaca “\(f\) aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan \(x\) adalah

Gambar

asalkan limit ini ada.

Jika limit pada definisi di atas memang ada, maka dikatakan bahwa \(f\) terdiferensialkan (terturunkan) di \(x\). Pencarian turunan disebut pendiferensialan; bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus diferensial.

CONTOH 1:

Andaikan \(f(x)= 13x - 6\). Cari \(f'(4)\).

Penyelesaian:

Gambar

CONTOH 2:

Jika \(f(x) = x^3 + 7x\). Cari \(f'(x)\).

Penyelesaian:

Gambar

CONTOH 3:

Jika \(f(x) = 1/x\), cari \(f'(x)\)

Penyelesaian:

Gambar

Jadi, \(f'(x) = -1/x^2\) dengan daerah asalnya adalah semua bilangan riil kecuali \(x = 0\).

CONTOH 4:

Cari turunan dari \(F\) jika \(F(x) = √x, x > 0\).

Penyelesaian:

Gambar

Dalam contoh kita sejauh ini, pencarian turunan selalu menyangkut pengambilan limit suatu hasilbagi di mana pembilang dan penyebut keduanya menuju nol. Lalu kita menyederhanakan hasilbagi ini sehingga kita dapat mencoret faktor \(h\) dari pembilang dan penyebut, dengan demikian memungkinkan kita untuk menghitung limit.

Dalam contoh yang sekarang, hal ini dapat dilakukan dengan merasionalkan pembilang.

Gambar

Jadi, \(F'(x) = 1/2\sqrt{x}\) dengan daerah asalnya adalah \((0, ∞)\).

Bentuk-Bentuk yang Setara untuk Turunan

Tidak ada aturan yang mengharuskan pemakaian huruf \(h\) dalam mendefinisikan \(f'(c)\). Dengan kata lain, kita bisa memakai huruf lain yang diinginkan. Sebagai contoh, kita bisa menggunakan huruf \(p, s\) atau huruf lainnya, seperti terlihat berikut ini:

Gambar
Gambar

Gambar 1

Gambar

Gambar 2

Perubahan yang lebih radikal, tetapi masih tetap hanya suatu perubahan cara penulisan, mungkin mudah dipahami dengan membandingkan Gambar 1 dan Gambar 2. Perhatikan bagaimana \(x\) mengambil tempat \(c + h\), sehingga \(x - c\) menggantikan \(h\). Jadi,

Gambar

Dalam nada yang serupa, kita boleh menuliskan

Gambar

CONTOH 5:

Gunakan hasil dalam kotak berwarna biru di atas untuk mencari \(g'(c)\), jika \(g(x) = 2/(x + 3)\).

Penyelesaian:

Gambar

Di sini kita memanipulasikan hasilbagi sampai kita dapat mencoret suatu faktor \(x - c\) dari pembilang dan penyebut. Kemudian kita dapat menghitung limit tersebut.

CONTOH 6:

Masing-masing yang berikut adalah suatu turunan, tetapi dari fungsi apa dan di titik mana?

Gambar

Penyelesaian:

a. Ini adalah turunan dari \(f(x) = x^2\) di \(x = 4\)

b. Ini adalah turunan dari \(f(x) = 2/x\) di \(x = 3\).

Keterdiferensialan Menunjukkan Kekontinuan

TEOREMA A:

Jika \(f'(c)\) ada, maka \(f\) adalah kontinu di \(c\).

Bukti:

Kita perlu menunjukkan bahwa

\[ \lim_{x\to c} f(x) = f(c) \]

Sekarang

Gambar

Sehingga,

Gambar

Kebalikan dari teorema A adalah tidak benar, yakni jika fungsi \(f\) kontinu di \(c\), maka tidak berarti \(f\) mempunyai turunan di \(c\). Ini dengan mudah dapat dilihat dengan memandang \(f(x) = |x|\) di titik asal (Gambar 3). Fungsi ini pasti kontinu di nol, tetapi tidak mempunyai turunan di sana. Kenapa bisa demikian? Perhatikalah bahwa

Gambar

Limit ini tidak ada karena limit kanan tidak sama dengan limit kiri.

Gambar

Sedangkan,

Gambar Gambar

Gambar 3

Argumentasi yang baru disajikan memperlihatkan bahwa di sebarang titik di mana fungsi mempunyai sebuah sudut yang tajam, maka fungsi penyebut kontinu tetapi tidak terdiferensialkan. Grafik dalam Gambar 4 menunjukkan sejumlah kemungkinan.

Gambar

Gambar 4

Kita tegaskan dalam Gambar 4 bahwa turunan tidak ada di titik \(c\) di mana garis singgungnya tegak (vertikal). Ini disebabkan

Gambar

Hal ini berkaitan dengan kenyataan bahwa kemiringan suatu garis vertikal tak terdefinisi.

Increment dan Notasi Leibniz untuk turunan

Terdapat notasi lain untuk menyatakan turunan yang disebut notasi Leibniz. Notasi ini cukup populer dan sering dijumpai dalam penulisan sejumlah buku. Oleh karena itu, kita akan mempelajarinya di sini. Tetapi sebelum itu kita perlu mengenal apa yang disebut dengan increment.

Lalu apa itu increment? Jika nilai sebuah variabel \(x\) berubah dari \(x_1\) ke \(x_2\), maka \(x_2 - x_1\) (perubahan dalam \(x\)) disebut increment \(x\) dan biasanya dinyatakan dengan \(Δx\) (dibaca “delta \(x\)”). Perhatikan bahwa \(Δx\) tidak berarti \(Δ\) kali \(x\). Jika \(x_1 = 4.1\) dan \(x_2 = 5.7\), maka

Gambar

Jika \(x_1 = c\) dan \(x_2 = c + h\), maka

Gambar

Selanjutnya anggaplah bahwa \(y = f(x)\) menentukan sebuah fungsi. Jika \(x\) berubah dari \(x_1\) ke \(x_2\), maka \(y\) berubah dari \(y_1 = f(x_1)\) ke \(y_2 = f(x_2)\). Dengan demikian, berkaitan dengan increment \(Δx = x_2 - x_1\) dalam \(x\), terdapat increment dalam \(y\) yang diberikan oleh

Gambar

CONTOH 7:

Misalkan \(y = f(x) = 2 - x^2\). Cari \(Δy\) saat \(x\) berubah dari 0,4 ke 1.3 (lihat Gambar 5).

Gambar

Gambar 5

Penyelesaian:

Gambar

Setelah kita paham mengenai increment, sekarang kita siap dengan notasi Leibniz untuk turunan. Pertama, anggaplah bahwa variabel independen berubah dari \(x\) menjadi \(x + Δx\). Perubahan yang bersesuaian dengan variabel dependen, \(y\), akan menjadi

Gambar

dan rasio

Gambar

merepsentasikan kemiringan garis secant melalui \((x, f(x))\), seperti ditunjukkan pada Gambar 6. Ketika \(Δx → 0\), kemiringan dari garis secant ini mendekati garis singgung, dan untuk kemiringan terakhir ini, kita gunakan simbol \(dy/dx\) yang merupakan notasi Leibniz untuk turunan. Dengan demikian,

Gambar

Cukup sekian penjelasan mengenai definisi turunan beserta contoh soal dan pembahasannya dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Indonesia: Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

It always sems impossible until it's done.