CONTOH 1:

Cari kemiringan garis singgung pada kurva \(y=f(x)=x^2\) di titik (2, 4).

Pembahasan:

Garis yang kemiringannya kita cari diperlihatkan pada Gambar 2. Jelas ia mempunyai suatu kemiringan positif yang besar.

Gambar 2

CONTOH 2:

Cari kemiringan garis singgung pada kurva \(y=f(x)=-x^2+2x+2\) pada titik-titik yang koordinat-x nya -1, 1/2, 2, dan 3.

Pembahasan:

Ketimbang membuat empat perhitungan terpisah, kelihatannya lebih bijaksana untuk menghitung kemiringan itu di titik yang koordinat-x nya di titik c dan kemudian mendapatkan empat jawaban yang diinginkan dengan cara substitusi.

Keempat kemiringan yang diinginkan (diperoleh dengan menetapkan \(c=-1,1/2,2\), dan \(3\)) adalah \(4, 1, -2,\) dan \(-4\). Jawaban ini memang bersesuaian dengan grafik pada Gambar 3.

Gambar 3

CONTOH 3:

Cari persamaan garis singgung pada kurva \(y=1/x\) di titik \((2,1/2)\) (lihat gambar 4)

Gambar 4

Pembahasan:

Dengan mengetahui kemiringan garis \((m = -1/4)\) dan titik \((2, 1/2)\) pada garis itu, secara mudah kita dapat menuliskan persamaannya dengan memakai bentuk kemiringan titik \(y-y_0=m(x-x_0)\). Hasilnya adalah \(y-1/2=-1/4(x-2)\), atau ekuivalen dengan, \(y=1-1/4 x\).

CONTOH 4:

Cari persamaan garis singgung pada grafik \(y=3 \sin{⁡2x}\) di titik \((π/2,0)\) (lihat gambar 5).

Gambar 5

Pembahasan:

Kita memerlukan turunan dari \(\sin{⁡2x}\); sayangnya, kita hanya tahu bagaimana mencari turunan dari \(\sin{x}\). Tetapi, \(\sin{2x} = 2 \sin{x} \cos{x}\). Jadi,

Pada \(x=π/2\), turunan ini bernilai \(-6\), yang karena itu merupakan kemiringan garis singgung yang diinginkan. Persamaan garis ini adalah

\[ y-0 = -6(x-\frac{\pi}{2}) \]

CONTOH 5:

Cari persamaan garis singgung pada kurva \(y^3-xy^2+\cos{⁡xy}=2\) di titik (0,1).

Pembahasan:

Untuk penyederhanaan, kita gunakan notasi \(y'\) ketimbang \(dy/dx\). Jika kita mendiferensialkan kedua ruas dan menyamakan hasilnya, kita peroleh

Di titik \((0,1), \ y’ = 1/3\). Sehingga, persamaan garis singgung di \((0,1)\) adalah

atau