JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus I » Aplikasi Turunan › Garis Singgung
Turunan

Garis Singgung

Studi mengenai turunan terkait erat dengan konsep geometri untuk garis singgung suatu kurva. Oleh karena itu, kita akan membahas definisi umum garis singgung dan metode untuk menemukan kemiringan dan persamaannya menggunakan konsep turunan.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Studi mengenai turunan terkait erat dengan konsep geometri untuk garis singgung suatu kurva. Oleh karena itu, kita akan membahas definisi umum garis singgung dan metode untuk menemukan kemiringan dan persamaannya menggunakan konsep turunan.

Perhatikan grafik dari persamaan \(y=f(x)\) pada Gambar 1. Titik \(P\) mempunyai koordinat \((c,f(c))\), titik \(Q\) di dekatnya mempunyai koordinat \((c+h,f(c+h))\), dan talibusur yang melalui \(P\) dan \(Q\) mempunyai kemiringan \(m_{sec}\) yang diberikan oleh

Gambar Gambar

Gambar 1

Dengan menggunakan konsep limit, yang mana telah kita pelajari pada bagian sebelumnya, sekarang kita bisa memberikan definisi yang formal untuk garis singgung.

DEFINISI:

Garis singgung kurva \(y=f(x)\) di titik \(P(c,f(c))\) adalah garis yang melalui titik \(P\) dengan kemiringan

Gambar

asalkan bahwa limit ini ada dan bukan \(∞\) atau \(-∞\).

CONTOH 1:

Cari kemiringan garis singgung pada kurva \(y=f(x)=x^2\) di titik (2, 4).

Pembahasan:

Garis yang kemiringannya kita cari diperlihatkan pada Gambar 2. Jelas ia mempunyai suatu kemiringan positif yang besar.

Gambar Gambar

Gambar 2

CONTOH 2:

Cari kemiringan garis singgung pada kurva \(y=f(x)=-x^2+2x+2\) pada titik-titik yang koordinat-x nya -1, 1/2, 2, dan 3.

Pembahasan:

Ketimbang membuat empat perhitungan terpisah, kelihatannya lebih bijaksana untuk menghitung kemiringan itu di titik yang koordinat-x nya di titik c dan kemudian mendapatkan empat jawaban yang diinginkan dengan cara substitusi.

Gambar

Keempat kemiringan yang diinginkan (diperoleh dengan menetapkan \(c=-1,1/2,2\), dan \(3\)) adalah \(4, 1, -2,\) dan \(-4\). Jawaban ini memang bersesuaian dengan grafik pada Gambar 3.

Gambar

Gambar 3

CONTOH 3:

Cari persamaan garis singgung pada kurva \(y=1/x\) di titik \((2,1/2)\) (lihat gambar 4)

Gambar

Gambar 4

Pembahasan:

Gambar

Dengan mengetahui kemiringan garis \((m = -1/4)\) dan titik \((2, 1/2)\) pada garis itu, secara mudah kita dapat menuliskan persamaannya dengan memakai bentuk kemiringan titik \(y-y_0=m(x-x_0)\). Hasilnya adalah \(y-1/2=-1/4(x-2)\), atau ekuivalen dengan, \(y=1-1/4 x\).

CONTOH 4:

Cari persamaan garis singgung pada grafik \(y=3 \sin{⁡2x}\) di titik \((π/2,0)\) (lihat gambar 5).

Gambar

Gambar 5

Pembahasan:

Kita memerlukan turunan dari \(\sin{⁡2x}\); sayangnya, kita hanya tahu bagaimana mencari turunan dari \(\sin{x}\). Tetapi, \(\sin{2x} = 2 \sin{x} \cos{x}\). Jadi,

Gambar

Pada \(x=π/2\), turunan ini bernilai \(-6\), yang karena itu merupakan kemiringan garis singgung yang diinginkan. Persamaan garis ini adalah

\[ y-0 = -6(x-\frac{\pi}{2}) \]

CONTOH 5:

Cari persamaan garis singgung pada kurva \(y^3-xy^2+\cos{⁡xy}=2\) di titik (0,1).

Pembahasan:

Untuk penyederhanaan, kita gunakan notasi \(y'\) ketimbang \(dy/dx\). Jika kita mendiferensialkan kedua ruas dan menyamakan hasilnya, kita peroleh

Gambar

Di titik \((0,1), \ y’ = 1/3\). Sehingga, persamaan garis singgung di \((0,1)\) adalah

Gambar

atau

Gambar

Cukup sekian penjelasan mengenai cara mencari garis singgung suatu kurva menggunakan konsep turunan beserta contoh soal dan pembahasannya dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Indonesia: Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

There is always inequality in life. Some men are killed in a war and some men are wounded and some men never leave the country. Life is unfair.