CONTOH 1:

Selesaikan \( \displaystyle \int x \ \cos ⁡x \ dx \) menggunakan rumus integral parsial.

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan gunakan teknik integral parsial. Misalkan \(u = x\) dan \(dv = \cos x \ dx\) sehingga diperoleh

Dengan substitusi hasil yang kita dapatkan di atas ke rumus integral parsial, kita peroleh berikut ini:

CONTOH 2:

Selesaikan \( \displaystyle \int \sin^{-1} x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan integral ini, kita bisa gunakan teknik integral parsial. Pertama, kita perlu melakukan pemisalan \(u\) dan \(dv\). Berdasarkan Aturan ILATE, fungsi yang akan dimisalkan sebagai \(u\) mengikuti urutan berikut: Invers, Logaritma, Aljabar, Trigonometri, dan Eksponensial.

Dengan demikian, fungsi invers trigonometri \(\sin^{-1} ⁡x\) akan dimisalkan sebagai \(u\) atau \(u = \sin^{-1}⁡x\) dan \(dv = dx\). Dari pemisalan \(u\) dan \(dv\), kita peroleh:

Selanjutnya, dengan substitusi hasil yang kita peroleh di atas ke rumus integral parsial, kita dapatkan berikut ini:

CONTOH 3:

Selesaikan \( \displaystyle \int x \ \sin^{-1} x \ dx \).

Pembahasan:

Perhatikan bahwa fungsi dalam integral ini merupakan perkalian antara fungsi aljabar dan fungsi invers trigonometri. Integral ini dapat diselesaikan menggunakan teknik integral parsial sehingga kita perlu melakukan pemisalan u dan dv terlebih dahulu.

Ingat bahwa berdasarkan Aturan ILATE, fungsi yang akan dimisalkan sebagai u mengikuti urutan berikut: Invers, Logaritma, Aljabar, Trigonometri, dan Eksponensial. Oleh karena itu, fungsi invers trigonometri \(\sin^{-1}⁡x\) akan dimisalkan sebagai \(u\) dan \(x \ dx\) sebagai \(dv\), atau bisa kita tuliskan:

Dari pemisalan u dan dv di atas, kita peroleh:

Selanjutnya, dengan substitusi hasil yang diperoleh di atas ke rumus integral parsial, kita dapatkan hasil berikut:

CONTOH 4:

Selesaikan \( \displaystyle \int x \ \tan^{-1} x \ dx \).

Pembahasan:

Integral ini dapat diselesaikan menggunakan teknik integral parsial. Dengan mengikuti langkah-langkah dalam Contoh 3, kita peroleh pemisalan \(u=\tan^{-1} ⁡x\) dan \(dv = x \ dx\).

Dengan demikian, kita dapatkan hasil berikut:

Selanjutnya, dengan substitusi hasil yang diperoleh di atas ke rumus integral parsial, kita dapatkan hasil berikut:

CONTOH 5:

Selesaikan \( \displaystyle \int x \ \ln x \ dx \).

Pembahasan:

Perhatikan bahwa fungsi dalam integral ini merupakan perkalian antara fungsi aljabar dan fungsi logaritma natural. Integral ini dapat diselesaikan menggunakan teknik integral parsial sehingga kita perlu melakukan pemisalan u dan dv.

Menurut Aturan ILATE, fungsi yang akan dimisalkan sebagai u mengikuti urutan berikut: Invers, Logaritma, Aljabar, Trigonometri, dan Eksponensial. Oleh karena itu, fungsi yang akan dimisalkan sebagai u yaitu fungsi logaritma natural yakni \(u = \ln x\) dan fungsi aljabarnya akan dimisalkan sebagai dv, yakni \(dv = x \ dx\), atau dapat kita tuliskan menjadi:

\[ u = \ln x \quad \text{dan} \quad dv = x \ dx \]

Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:

Dari hasil di atas, sekarang kita dapat selesaikan integral pada soal yaitu:

CONTOH 6:

Selesaikan \( \displaystyle \int x^n \ \ln x \ dx \).

Pembahasan:

Fungsi dalam integral ini merupakan perkalian antara fungsi aljabar dan fungsi logaritma natural. Adapun langkah-langkah penyelesaian dari integral ini dapat mengikuti Contoh 5 di atas. Kita misalkan \(u = \ln x\) dan \(dv = x^n \ dx\) sehingga kita peroleh:

Dari hasil di atas, sekarang kita dapat selesaikan integral pada soal yaitu:

CONTOH 7:

Selesaikan \( \displaystyle \int e^x \ \sin x \ dx \).

Pembahasan:

Perhatikan bahwa fungsi dalam integral ini merupakan perkalian antara fungsi eksponensial dan trigonometri sehingga berdasarkan Aturan ILATE, fungsi trigonometrinya akan dimisalkan sebagai u yakni \(u = \sin x\) dan fungsi eksponensialnya sebagai dv, yakni \(dv = e^x \ dx\).

Dengan demikian, kita peroleh:

Selanjutnya dari hasil di atas, kita peroleh berikut ini:

Untuk melanjutkan hasil di atas, kita perlu menyelesaikan \(\int e^x \cos x \ dx\) terlebih dahulu. Kita bisa selesaikan integral tersebut menggunakan teknik integral parsial dengan memisalkan \(u = e^x\) dan \(dv = \cos x \ dx\) sehingga kita dapatkan berikut ini:

Dengan melanjutkan hasil yang kita peroleh sebelumnya kita peroleh jawaban dari integral pada soal, yaitu:

CONTOH 8:

Selesaikan \( \displaystyle \int e^x \ \cos x \ dx \).

Pembahasan:

Sama dengan kasus pada Contoh 7 di atas, kita misalkan \(u = \cos x\) dan \(dv = e^x \ dx\), sehingga kita peroleh:

Selanjutnya dari hasil di atas, kita peroleh berikut ini:

Untuk melanjutkan hasil di atas, kita perlu menyelesaikan \(\int e^x \sin x \ dx\) terlebih dahulu. Kita bisa selesaikan integral tersebut menggunakan teknik integral parsial dengan memisalkan \(u = \sin x\) dan \(dv = e^x \ dx\) sehingga kita dapatkan berikut ini:

Dengan melanjutkan hasil yang kita peroleh sebelumnya kita peroleh jawaban dari integral pada soal, yaitu:

CONTOH 9:

Selesaikan \( \displaystyle \int x \ \sin x \ dx \).

Pembahasan:

Perhatikan fungsi dalam integral ini merupakan perkalian antara fungsi aljabar dan trigonometri sehingga berdasarkan Aturan ILATE, kita akan misalkan fungsi aljabarnya sebagai u, yakni \(u = x\) dan fungsi trigonometrinya sebagai dv, yakni \(dv = \sin x \ dx\).

Dengan demikian, kita dapatkkan hasil berikut:

Selanjutnya dari hasil di atas, kita peroleh berikut ini:

CONTOH 10:

Selesaikan \( \displaystyle \int x \ e^x \ dx \).

Pembahasan:

Perhatikan bahwa fungsi dalam integral ini merupakan perkalian antara fungsi aljabar dan eksponesial, sehingga berdasarkan Aturan ILATE, kita misalkan fungsi aljabarnya sebagai u, yakni \(u = x\) dan fungsi eksponensialnya sebagai dv, yakni \(dv = e^x \ dx\).

Dengan demikian, kita dapatkkan hasil berikut:

Selanjutnya dari hasil di atas, kita peroleh berikut ini: