JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika » Integral

Integral Invers Trigonometri, Contoh Soal dan Pembahasan


Oleh Tju Ji Long · Statistician & Content Writer

13 Mei 2022

Ada banyak soal integra yang melibatkan fungsi invers trigonometri di mana penyelesaiannya bisa menggunakan teknik integral parsial. Pada artikel ini kita akan membahas beberapa contoh soal integral fungsi invers trigonometri.

Contoh 1:

Tentukan \( \int \sin^{-1} x \ dx \).

Pembahasan »

Untuk menyelesaikan soal ini kita akan gunakan teknik integral parsial dengan memisalkan \(u = \sin^{-1} x\) dan \(dv = dx\) sehingga kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} u = \sin^{-1} x &\Leftrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\[8pt] &\Rightarrow du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx \\[8pt] dv = dx &\Leftrightarrow v = x \end{aligned}

Selanjutnya, berdasarkan informasi yang kita peroleh di atas, maka penyelesaian integral pada soal yaitu:

\begin{aligned} \int \sin^{-1} x \ dx &\Leftrightarrow \int u \ dv = uv - \int v \ du \\[8pt] \int \sin^{-1} x \ dx &= x \sin^{-1} x - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx \\[8pt] &= x \sin^{-1} x - (-\sqrt{1-x^2}) + C \\[8pt] &= x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C \end{aligned}
Contoh 2:

Tentukan \( \int x \sin^{-1} x \ dx \).

Pembahasan »

Kita misalkan \(u = \sin^{-1} x\) dan \(dv = x \ dx\) sehingga kita peroleh:

\begin{aligned} u = \sin^{-1} x &\Leftrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\[8pt] &\Rightarrow du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx \\[8pt] dv = x \ dx &\Leftrightarrow v = \frac{1}{2} x^2 \end{aligned}

Selanjutnya, dengan substitusi hasil yang diperoleh di atas ke rumus integral parsial, kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} \int u \ dv &= uv - \int v \ du \\[8pt] \int x \ \sin^{-1} x \ dx &= \frac{1}{2}x^2 \ \sin^{-1} x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \sin^{-1} x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \sin^{-1} x + \frac{1}{2} \int \frac{1-x^2-1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \sin^{-1} x + \frac{1}{2} \left[\int \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}} \ dx - \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx \right ] \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \sin^{-1} x + \frac{1}{2} \left[ \int \sqrt{1-x^2} \ dx - \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx \right ] \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \sin^{-1} x + \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1} x - \sin^{-1} x \right ] + C \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \sin^{-1} x + \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} - \frac{1}{2} \sin^{-1} x \right ] + C \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \sin^{-1} x + \frac{1}{4} \left[ x \sqrt{1-x^2} - \sin^{-1} x \right ] + C \end{aligned}
Contoh 3:

Tentukan \( \int \cos^{-1} x \ dx \).

Pembahasan »

Kita misalkan \(u = \cos^{-1} x\) dan \(dv = dx\) sehingga kita peroleh:

\begin{aligned} u = \cos^{-1} x &\Leftrightarrow \frac{du}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\[8pt] &\Rightarrow du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx \\[8pt] dv = dx &\Leftrightarrow v = x \end{aligned}

Selanjutnya, dengan substitusi hasil yang diperoleh di atas ke rumus integral parsial, kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} \int \cos^{-1} x \ dx &\Leftrightarrow \int u \ dv = uv - \int v \ du \\[8pt] \int \cos^{-1} x \ dx &= x \cos^{-1} x - \int x \cdot -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx \\[8pt] &= x \cos^{-1} x + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \ dx \\[8pt] &= x \cos^{-1} x + (-\sqrt{1-x^2}) + C \\[8pt] &= x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2} + C \end{aligned}
Contoh 4:

Tentukan \( \int x \cos^{-1} x \ dx \).

Pembahasan »

Kita misalkan \(u = \cos^{-1} x\) dan \(dv = x \ dx\) sehingga kita peroleh:

\begin{aligned} u = \cos^{-1} x &\Leftrightarrow \frac{du}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\[8pt] &\Rightarrow du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx \\[8pt] dv = x \ dx &\Leftrightarrow v = \int x \ dx = \frac{1}{2}x^2 \end{aligned}

Selanjutnya, dengan substitusi hasil yang diperoleh di atas ke rumus integral parsial, kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} \int u \ dv &= uv - \int v \ du \\[8pt] \int x \ \cos^{-1} x \ dx &= \frac{1}{2}x^2 \ \cos^{-1} x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \cos^{-1} x - \frac{1}{2} \int \frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2}} \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \cos^{-1} x - \frac{1}{2} \int \frac{1-x^2-1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \cos^{-1} x - \frac{1}{2} \left[\int \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}} \ dx - \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx \right ] \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \cos^{-1} x - \frac{1}{2} \left[ \int \sqrt{1-x^2} \ dx - \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx \right ] \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \cos^{-1} x - \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1} x - \sin^{-1} x \right ] + C \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \cos^{-1} x - \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} - \frac{1}{2} \sin^{-1} x \right ] + C \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \cos^{-1} x - \frac{1}{4} x \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{4} \sin^{-1} x + C \end{aligned}
Contoh 5:

Tentukan \( \int \tan^{-1} x \ dx \).

Pembahasan »

Integral ini dapat diselesaikan menggunakan teknik integral parsial. Dengan memisalkan \(u=\tan^{-1} ⁡x\) dan \(dv = dx\), kita peroleh hasil berikut:

\begin{aligned} u = \tan^{-1} x &\Leftrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{1}{1+x^2} \\[8pt] &\Rightarrow du = \frac{1}{1+x^2} \ dx \\[8pt] dv = dx &\Leftrightarrow v = x \end{aligned}

Selanjutnya, dengan substitusi hasil yang diperoleh di atas ke rumus integral parsial, kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} \int u \ dv &= uv - \int v \ du \\[8pt] \int \tan^{-1} x \ dx &= x \ \tan^{-1} x - \int x \cdot \frac{1}{1+x^2} \ dx \\[8pt] &= x \ \tan^{-1} x - \int \frac{x}{1+x^2} \ dx \\[8pt] &= x \ \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \ln |1+x^2| + C \end{aligned}
Contoh 6:

Tentukan \( \int x \tan^{-1} x \ dx \).

Pembahasan »

Integral ini dapat diselesaikan menggunakan teknik integral parsial. Dengan memisalkan \(u=\tan^{-1} ⁡x\) dan \(dv = x \ dx\) kita peroleh hasil berikut:

\begin{aligned} u = \tan^{-1} x &\Leftrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{1}{1+x^2} \\[8pt] &\Rightarrow du = \frac{1}{1+x^2} \ dx \\[8pt] dv = x \ dx &\Leftrightarrow v = \frac{1}{2} x^2 \end{aligned}

Selanjutnya, dengan substitusi hasil yang diperoleh di atas ke rumus integral parsial, kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} \int u \ dv &= uv - \int v \ du \\[8pt] \int x \ \tan^{-1} x \ dx &= \frac{1}{2}x^2 \ \tan^{-1} x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{1+x^2} \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2+1-1}{x^2+1} \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \left[\int \frac{x^2+1}{x^2+1} \ dx - \int \frac{1}{x^2+1} \ dx \right ] \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \left[ x - \tan^{-1} x \right ] + C \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \tan^{-1} x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \tan^{-1} x + C \\[8pt] &= \frac{1}{2}(x^2+1) \ \tan^{-1} x - \frac{1}{2}x + C \end{aligned}
Contoh 7:

Tentukan \( \int \csc^{-1} x \ dx \).

Pembahasan »

Integral ini dapat diselesaikan menggunakan teknik integral parsial. Dengan memisalkan \(u=\csc^{-1} ⁡x\) dan \(dv = dx\), kita peroleh hasil berikut:

\begin{aligned} u = \csc^{-1} x &\Leftrightarrow \frac{du}{dx} = -\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} \\[8pt] &\Rightarrow du = -\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} \ dx \\[8pt] dv = dx &\Leftrightarrow v = x \end{aligned}

Selanjutnya, dengan substitusi hasil yang diperoleh di atas ke rumus integral parsial, kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} \int \csc^{-1} x \ dx &\Leftrightarrow \int u \ dv = uv - \int v \ du \\[8pt] \int \csc^{-1} x \ dx &= x \csc^{-1} x - \int x \cdot -\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} \ dx \\[8pt] &= x \csc^{-1} x + \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \ dx \\[8pt] &= x \csc^{-1} x + \ln |x + \sqrt{x^2-1}| + C \end{aligned}
Contoh 8:

Tentukan \( \int \sec^{-1} x \ dx \).

Pembahasan »

Integral ini dapat diselesaikan menggunakan teknik integral parsial. Dengan memisalkan \(u=\sec^{-1} ⁡x\) dan \(dv = dx\), kita peroleh hasil berikut:

\begin{aligned} u = \sec^{-1} x &\Leftrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} \\[8pt] &\Rightarrow du = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} \ dx \\[8pt] dv = dx &\Leftrightarrow v = x \end{aligned}

Selanjutnya, dengan substitusi hasil yang diperoleh di atas ke rumus integral parsial, kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} \int \sec^{-1} x \ dx &\Leftrightarrow \int u \ dv = uv - \int v \ du \\[8pt] \int \sec^{-1} x \ dx &= x \sec^{-1} x - \int x \cdot \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} \ dx \\[8pt] &= x \sec^{-1} x - \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \ dx \\[8pt] &= x \csc^{-1} x - \ln |x + \sqrt{x^2-1}| + C \end{aligned}
Contoh 9:

Tentukan \( \int \cot^{-1} x \ dx \).

Pembahasan »

Integral ini dapat diselesaikan menggunakan teknik integral parsial. Dengan memisalkan \(u=\cot^{-1} ⁡x\) dan \(dv = dx\), kita peroleh hasil berikut:

\begin{aligned} u = \cot^{-1} x &\Leftrightarrow \frac{du}{dx} = -\frac{1}{1+x^2} \\[8pt] &\Rightarrow du = -\frac{1}{1+x^2} \ dx \\[8pt] dv = dx &\Leftrightarrow v = x \end{aligned}

Selanjutnya, dengan substitusi hasil yang diperoleh di atas ke rumus integral parsial, kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} \int u \ dv &= uv - \int v \ du \\[8pt] \int \cot^{-1} x \ dx &= x \ \cot^{-1} x - \int x \cdot -\frac{1}{1+x^2} \ dx \\[8pt] &= x \ \cot^{-1} x + \int \frac{x}{1+x^2} \ dx \\[8pt] &= x \ \cot^{-1} x + \frac{1}{2} \ln |1+x^2| + C \end{aligned}
Contoh 10:

Tentukan \( \int x \cot^{-1} x \ dx \).

Pembahasan »

Integral ini dapat diselesaikan menggunakan teknik integral parsial. Dengan memisalkan \(u=\cot^{-1} ⁡x\) dan \(dv = dx\), kita peroleh hasil berikut:

\begin{aligned} u = \cot^{-1} x &\Leftrightarrow \frac{du}{dx} = -\frac{1}{1+x^2} \\[8pt] &\Rightarrow du = - \frac{1}{1+x^2} \ dx \\[8pt] dv = x \ dx &\Leftrightarrow v = \frac{1}{2} x^2 \end{aligned}

Selanjutnya, dengan substitusi hasil yang diperoleh di atas ke rumus integral parsial, kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} \int u \ dv &= uv - \int v \ du \\[8pt] \int x \ \cot^{-1} x \ dx &= \frac{1}{2}x^2 \ \cot^{-1} x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot -\frac{1}{1+x^2} \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \cot^{-1} x + \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \tan^{-1} x + \frac{1}{2} \int \frac{x^2+1-1}{x^2+1} \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \tan^{-1} x + \frac{1}{2} \left[\int \frac{x^2+1}{x^2+1} \ dx - \int \frac{1}{x^2+1} \ dx \right ] \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \tan^{-1} x + \frac{1}{2} \left[ x - \tan^{-1} x \right ] + C \\[8pt] &= \frac{1}{2}x^2 \ \tan^{-1} x + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + C \\[8pt] &= \frac{1}{2}(x^2-1) \ \tan^{-1} x + \frac{1}{2}x + C \end{aligned}