JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus I » Turunan Fungsi › Aturan Pencarian Turunan
Turunan

Aturan Pencarian Turunan

Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung menggunakan definisi turunan selain memakan waktu juga membosankan. Kita akan mengembangkan cara yang akan memungkinkan kita untuk mencari turunan dari fungsi-fungsi yang tampak rumit dengan segera.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung menggunakan definisi turunan, yakni dengan menyusun hasilbagi selisih

Gambar

dan menghitung limitnya, memakan waktu dan membosankan. Kita akan mengembangkan cara yang akan memungkinkan kita untuk memperpendek proses yang berkepanjangan ini sehingga memungkinkan kita untuk mencari turunan dari fungsi-fungsi yang tampak rumit dengan segera.

Ingat kembali bahwa turunan suatu fungsi adalah fungsi lain \(f'\). Misalnya, jika \(f(x) = x^2\) adalah rumus untuk \(f\), maka \(f'(x) = 2x\) adalah rumus untuk \(f'\). Pengambilan turunan dari \(f\) (pendiferensialan \(f\)) adalah pengoperasian pada \(f\) untuk menghasilkan \(f'\).

Sering kali kita memakai huruf \(D\) untuk menunjukkan operasi ini. Jadi kita menuliskan \(D_f = f'\), \(D_f(x) = f'(x)\), atau (dalam contoh yang disebutkan di atas) \(D(x^2) = 2x\). Semua teorema di bawah dinyatakan dalam cara penulisan fungsional dan dalam cara penulisan operator \(D\).

Konstanta dan Aturan Pangkat.

TEOREMA A: Aturan Fungsi Konstanta

Jika \(f(x) = k\) dengan \(k\) suatu konstanta, maka untuk sebarang \(x\), \(f'(x) = 0\); yakni

\[ D_x(k) = 0 \]

Bukti:

Gambar

TEOREMA B: Aturan Fungsi Identitas

Jika \(f(x) = x\), maka \(f'(x) = 1\); yakni

\[ D_x(k) = 1 \]

Bukti:

Gambar

Teorema kita berikutnya akan berkaitan dengan pencarian turunan dari suatu pangkat. Namun, sebelum itu mari kita ingat sejenak bagaimana memangkatkan suatu binomial. Perhatikan berikut ini:

Gambar

TEOREMA C: Aturan pangkat

Jika \(f(x) = x^n\) dengan \(n\) bilangan-bilangan bulat positif maka \(f'(x) = nx^{n-1}\); yakni

\[ D_x(x^n) = nx^{n-1} \]

Bukti:

Gambar

Di dalam kurung siku, semua suku kecuali yang pertama mempunyai \(h\) sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila \(h\) mendekati nol. Jadi

\[ f'(x) = nx^{n-1} \]

Sebagai ilustrasi dari Teorema C, perhatikan bahwa

Gambar

TEOREMA D: Aturan kelipatan konstanta

Jika \(k\) suatu konstanta dan \(f\) suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka \((kf)'(x) = kf'(x)\); yakni

Gambar

Bukti:

Andaikan \(F(x) = k.f(x)\). Maka

Gambar

Contoh-contoh yang mengilustrasikan hasil-hasil ini adalah

Gambar

TEOREMA E: Aturan jumlah

Jika \(f\) dan \(g\) fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka \((f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)\); yakni

Gambar

Bukti:

Andaikan \(F(x) = f(x) + g(x)\). Maka

Gambar

TEOREMA F: Aturan Selisih

Jika \(f\) dan \(g\) fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka \((f - g)'(x) = f'(x) - g'(x)\); yakni

Gambar

CONTOH 1:

Cari turunan dari \(5x^2 + 7x - 6\) dan \(4x^6 - 3x^5 - 10x^2 + 5x + 16\).

Penyelesaian:

Gambar

Untuk mencari turunan berikutnya perhatikan bahwa teorema-teorema pada jumlah dan selisih meluas sampai sejumlah terhingga suku. Jadi,

Gambar
Aturan Hasil Kali dan Hasil Bagi

Sekarang kita siap untuk suatu kejutan. Turunan hasil kali fungsi-fungsi tidak sama dengan hasilkali turunan fungsi-fungsi.

CONTOH 2:

Misalkan \(g(x) = x, h(x) = 1 + 2x,\) dan \(f(x) = g(x).h(x) = x(1 + 2x)\). Cari \(D_x f(x), D_x g(x), D_x h(x)\), dan tunjukkan bahwa \(D_x f(x) ≠ [D_x g(x)][D_x h(x)]\).

Penyelesaian:

Gambar

Perhatikan bahwa

Gambar

di mana

Gambar

Dengan demikian, \(D_x f(x) ≠ [D_x g(x)][D_x h(x)]\).

TEOREMA G: Aturan Hasil Kali

Andaikan \(f\) dan \(g\) fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

Gambar

Yakni

Gambar

Bukti:

Andaikan \(F(x) = f(x).g(x)\). Maka

Gambar

CONTOH 3:

Gunakan Aturan hasilkali untuk mencari turunan \((3x^2- 5)(2x^4- x)\). Periksa jawaban dengan mengerjakan soal itu secara lain.

Penyelesaian:

Gambar

Untuk memeriksa, pertama kita kalikan dan kemudian ambil turunan.

Gambar

Jadi,

Gambar

TEOREMA H: Aturan Hasilbagi

Andaikan \(f\) dan \(g\) fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan dengan \(g(x) ≠ 0\). Maka

Gambar

yakni

Gambar

Bukti:

Andaikan \(F(x) = f(x)/g(x)\). Maka

Gambar

CONTOH 4:

Cari turunan dari \((3x - 5)/(x^2 + 7)\)

Penyelesaian:

Gambar

CONTOH 5:

Carilah turunan dari \(y = 2/(x^4+ 1) + 3/x\).

Penyelesaian:

Gambar

Cukup sekian penjelasan mengenai aturan pencarian turunan beserta contoh soal dan pembahasannya dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Indonesia: Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

Knowledge comes from learning. Wisdom comes from living.