JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus I » Integral › Definisi Integral Riemann
Integral

Definisi Integral Riemann

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Pada artikel yang lalu, kita telah mempelajari integral tak tentu dan juga bagaimana mencari luas suatu daerah menggunakan poligon dalam dan poligon luar. Pada artikel ini kita akan mendefinisikan integral tentu. Kita mulai dengan mendefinisikan apa yang dimaksud dengan jumlah Riemann terlebih dahulu.

Jumlah Riemann

Pandang sebuah fungsi f yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b]. Ia boleh bernilai positif ataupun negatif pada selang tersebut dan bahkan ia tidak perlu kontinu. Grafiknya mungkin seperti fungsi yang ada dalam Gambar 1.

Gambar

Gambar 1

Selanjutnya, perhatikan suatu partisi \(P\) dari selang \([a,b]\) menjadi \(n\) selang bagian (tidak perlu berpanjang sama) memakai titik-titik

Gambar

dan andaikan \(Δx_i=x_i-x_{i-1}\). Pada tiap selang bagian \([x_{i-1}, x_i ]\), ambil sebuah titik sebarang \(\overline{x}_i\) (yang mungkin saja sebuah titik ujung); kita sebut ia sebuah titik sampel untuk selang bagian ke-i. Sebuah contoh dari konstruksi ini diperlihatkan dalam Gambar 2 untuk \(n = 6\).

Gambar

Gambar 2

Kemudian bentuklah penjumlahan sebagai berikut.

Gambar

Kita sebut \(R_P\) sebagai jumlah Riemann untuk \(f\) yang berpadanan dengan partisi \(P\). Tafsiran geometrinya diperlihatkan pada Gambar 3.

Gambar

Gambar 3

CONTOH 1:

Hitung jumlah Riemann untuk \(f(x)=x^2+1\) pada interval \([-1,2]\) menggunakan titik-titik partisi yang sama panjang \(-1<-0,5<0<0,5<1<1,5<2\), dengan titik sampel yang berpadanan \(\overline{x}_i\) adalah titik tengah dari subinterval ke-i.

Penyelesaian:

Gambar 4 di bawah memperlihatkan grafik untuk fungsi \(f(x)=x^2+1\) pada interval \([-1,2]\) beserta titik-titik partisi dan titik sampel yang dimaksud.

Gambar

Gambar 4

Dengan demikian, diperoleh jumlah Riemann yaitu

Gambar

Fungsi pada Gambar 3 dan 4 adalah positif. Akibatnya, jumlah Riemann hanyalah merupakan jumlah area persegi panjang (rectangles). Tetapi bagaimana jika f adalah negatif? Dalam kasus ini, suatu titik sampel \(\overline{x}_i\) dengan sifat bahwa \(f(\overline{x}_i)<0\) akan menyebabkan persegi panjang yang seluruhnya berada di bawah sumbu-x, dan perkalian \(f(x_i)Δx_i\) akan menjadi negatif.

Ini berarti bahwa kontribusi persegi panjang tersebut kepada jumlah Riemann adalah negatif. Gambar 5 mengilustrasikan ini.

Gambar

Gambar 5

CONTOH 2:

Hitung jumlah Riemann \(R_P\) untuk

Gambar

pada selang [0,5] memakai partisi \(P\) dengan titik-titik partisi \(0<1,1<2<3,2<4<5\) dan titik-titik sampel yang berpadanan \(\overline{x}_1 = 0,5; \overline{x}_2 = 1,5; \overline{x}_3=2,5; \overline{x}_4=3,6\) dan \(\overline{x}_5=5\).

Penyelesaian:

Gambar geometri yang berpadanan ditunjukkan pada Gambar 6.

Gambar

Gambar 6

Dengan demikian, diperoleh jumlah Riemann yaitu

Gambar
Definisi Integral Tentu

Sekarang andaikan bahwa \(P, Δx_i\), dan \(\overline{x}_i\) mempunyai arti seperti yang dibahas di atas. Tetapkan juga \(|P|\), disebut norma \(P\), yang menyatakan panjang selang bagian yang terpanjang dari partisi \(P\). Misalnya, pada contoh 1, \(|P|=3,2-2=1,2\); pada Contoh 2, \(|P|=0,5\).

DEFINISI: Integral Tentu

Andaikan \(f\) suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup \([a,b]\). Jika

Gambar

ada, kita katakan \(f\) adalah terintegralkan pada \([a,b]\). Lebih lanjut, \(∫_a^b f(x) \ dx\), disebut integral tentu (atau integral Riemann) \(f\) dari \(a\) ke \(b\), diberikan oleh

Gambar

Secara umum, \(∫_a^b f(x) \ dx\) menyatakan batasan luas daerah yang tercakup di antara kurva \(y=f(x)\) dan sumbu-x dalam selang \([a,b]\), yang berarti bahwa tanda positif akan diberikan pada luas bagian-bagian yang berada di bagian atas sumbu-x dan tanda negatif diberikan untuk luas bagian-bagian yang berada di bawah sumbu-x. Secara simbolik,

Gambar

di mana \(A_{up}\) dan \(A_{down}\) adalah seperti diperlihatkan dalam Gambar 7.

Gambar

Gambar 7

Kembali ke lambang \(∫_a^b f(x) dx\), kita boleh menyebut \(a\) titik ujung bawah dan \(b\) titik ujung atas untuk integral. Tetapi, kebanyakan pengarang memakai istilah batas bawah pengintegralan dan batas atas pengintegralan, yang adalah baik asal saja disadari bahwa pemakaian kata batas tidak dikacaukan dengan artinya yang lebih teknis.

Dalam definisi \(∫_a^b f(x) \ dx\), kita, secara implisit menganggap bahwa \(a < b\). Kita hilangkan batasan itu dengan definisi-definisi berikut.

Gambar

Jadi, kita dapat tuliskan

Gambar

Akhirnya, kita tunjukkan bahwa \(x\) adalah variabel dummy dalam lambang \(∫_a^b f(x) \ dx\). Dengan ini kita maksudkan bahwa \(x\) dapat diganti oleh huruf sebarang lain (tentu saja, asal ia diganti di setiap tempat kemunculannya). Jadi,

Gambar
Fungsi-fungsi apa yang dapat diintegralkan?

Tidak setiap fungsi dapat diintegralkan pada selang tertutup \([a,b]\). Misalnya, fungsi yang tak terbatas

Gambar

yang digrafikkan pada Gambar 8, tak terintegralkan pada \([-2,2]\). Karena kontribusi kepada sebarang jumlah Riemann dari selang bagian yang mengandung \(x = 0\) dapat dibuat berapa pun besarnya dengan cara pemilihan titik sampel \(\overline{x}_i\) yang berpadanan cukup dekat ke nol.

Penalaran ini menunjukkan bahwa sebarang fungsi yang terintegralkan pada \([a,b]\) harus terbatas di sana; yakni, harus terdapat konstanta M sedemikian sehingga \(|f(x)|≤M\) untuk semua \(x\) dalam \([a,b]\).

Gambar

Gambar 8

TEOREMA:

Jika \(f\) terbatas pada \([a,b]\) dan ia kontinu di sana kecuali pada sejumlah terhingga titik, maka \(f\) terintegralkan pada \([a,b]\). Khususnya, jika \(f\) kontinu pada seluruh selang \([a,b]\), maka ia terintegralkan pada \([a,b]\).

Sebagai konsekuensi dari teorema ini, fungsi-fungsi berikut adalah terintegralkan pada setiap selang tertutup [a,b].

1. Fungsi-fungsi polinom

2. Fungsi-fungsi sinus dan kosinus

3. Fungsi-fungsi rasional, asalkan [a,b] tidak mengandung titik-titk yang mengakibatkan suatu penyebut 0.

Penghitungan Integral Tentu

Dengan mengetahui bahwa suatu fungsi adalah terintegralkan, maka kita boleh menghitung integralnya memakai suatu partisi tetap (selang bagian sama panjang) dan dengan mengambil titik sampel \(x_i\) dalam cara yang mudah untuk kita. Contoh 3 dan 4 meliputi polinom, yang baru saja kita pelajari adalah terintegralkan.

CONTOH 3:

Gambar

Penyelesaian:

Partisikan selang \([-2,3]\) menjadi \(n\) selang bagian yang sama, masing-masing dengan panjang \(Δx=5/n\). Dalam tiap selang bagian \([x_{i-1}, x_i]\) gunakan \(\overline{x}_i=x_i\) sebagai titik sampel. Maka,

Gambar

Dengan demikian, \(f(x_i)=x_i+3=1+i \left(\frac{5}{n}\right)\), dan sehingga

Gambar

Karena \(P\) adalah suatu partisi tetap, \(|P|→0\) setara dengan \(n→∞\). Kita simpulkan bahwa

Gambar

Jawaban kita pada Contoh 3 ini tidaklah mengherankan karena integral yang akan kita cari tak lain adalah suatu trapesium yang diperlihatkan pada Gambar 9. Kita dapat juga menghitungnya memakai rumus di sekolah menengah, tetapi untuk mahasiswa lebih menarik mengerjakannya secara lebih rumit.

Gambar

Gambar 9

CONTOH 4:

Gambar

Penyelesaian:

Gambar 10 menunjukkan grafik fungsi yang dimaksud dengan \(A_1\) dan \(A_2\) adalah luas-luas daerah di bawah dan di atas sumbu x.

Gambar

Gambar 10

Andaikan \(P\) suatu partisi tetap dari \([-1,3]\) atas \(n\) selang bagian sama, masing-masing sepanjang \(Δx=4/n\). Dalam tiap selang bagian \([x_{i-1}, x_i]\), pilih \(\overline{x}_i\) berupa titik ujung kanan, sehingga \(\overline{x}_i=x_i\). Maka

Gambar

dan

Gambar

Akibatnya,

Gambar

Kita simpulkan bahwa

Gambar

Bahwa jawaban adalah negatif tidak mengherankan, karena daerah di bawah sumbu-x lebih luas dari pada yang di atas sumbu-x (Gambar 10).

Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Indonesia: Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

Bermimpilah dalam hidup, jangan hidup dalam mimpi.