www.jagostat.com
www.jagostat.com
Website Belajar Matematika & Statistika
Website Belajar Matematika & Statistika
Cari artikel...
KALKULUS II
Kalkulus II
Kalkulus II » Uji Kekonvergenan Deret Tak Hingga › Uji Rasio - Materi, Contoh Soal dan Pembahasan
Deret
Uji Rasio - Materi, Contoh Soal dan Pembahasan
Uji rasio merupakan salah satu uji yang penting dalam menentukan kekonvergenan deret. Inti dari uji ini yaitu membandingkan suatu deret dengan deret itu sendiri.
Untuk dapat menggunakan uji banding biasa yang telah kita pelajari sebelumnya diperlukan wawasan luas tentang macam-macam deret yang telah diketahui kekonvergenan atau kedivergenannya. Selain itu kita harus dapat memilih deret yang tepat yang hendak dibandingkan.
Oleh karena kesulitan-kesulitan itu, kita kemukakan di bawah ini suatu pengujian yang tidak memerlukan pengetahuan deret lain, kecuali deret yang hendak kita selidiki itu. Pengujian ini kita namakan uji rasio atau uji hasil bagi. Inti dari uji ini yaitu membandingkan suatu deret dengan deret itu sendiri.
Teorema: Uji Rasio atau Uji Hasil Bagi
Andaik \(∑a_n\) sebuah deret yang sukunya positif dan andaikan
\[\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \frac{a_{n+1}}{a_n}\]
- Jika \(ρ<1\) deret konvergen.
- Jika \(ρ>1\) atau \(\infty \) deret divergen
- Jika \(ρ=1\), deret bisa konvergen atau divergen (pengujian ini tidak memberikan kepastian).
Contoh 1:
Apakah deret \(\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{2^n}{n!} \) konvergen atau divergen?
Penyelesaian:
Karena
maka menurut Uji Hasilbagi deret itu konvergen.
Contoh 2:
Selidiki apakah \(\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{2^n}{n^{20}} \) konvergen atau divegen
Penyelesaian:
Karena
Kita simpulkan bahwa deret itu divergen.
Contoh 3:
Selidiki deret: \(\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{n!}{n^n} \) konvergen atau divegen
Penyelesaian:
Menurut Teorema Limit yang telah kita pelajari,
sehingga
Jadi, deret konvergen.
Contoh 4:
Tentukan apakah deret \(\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{n}{2^n} \) konvergen atau divegen.
Penyelesaian:
Misalkan \(a_n = \frac{n}{2^n}\), maka \(a_{n+1} = \frac{n+1}{2^{n+1}}\), sehingga
karena \(\rho = \frac{1}{2} < 1 \), maka deret \(\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{n}{2^n} \) konvergen.
Sumber:
Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.
Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.
Artikel Terkait
The only thing worse than being blind is having sight but no vision.
Helen Keller