JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus II » Uji Kekonvergenan Deret Tak Hingga › Uji Rasio
Deret

Uji Rasio

Uji rasio merupakan salah satu uji yang penting dalam menentukan kekonvergenan deret. Inti dari uji ini yaitu membandingkan suatu deret dengan deret itu sendiri.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Untuk dapat menggunakan uji banding biasa yang telah kita pelajari sebelumnya diperlukan wawasan luas tentang macam-macam deret yang telah diketahui kekonvergenan atau kedivergenannya. Selain itu kita harus dapat memilih deret yang tepat yang hendak dibandingkan.

Oleh karena kesulitan-kesulitan itu, kita kemukakan di bawah ini suatu pengujian yang tidak memerlukan pengetahuan deret lain, kecuali deret yang hendak kita selidiki itu. Pengujian ini kita namakan uji rasio atau uji hasil bagi. Inti dari uji ini yaitu membandingkan suatu deret dengan deret itu sendiri.

Teorema: Uji Rasio atau Uji Hasil Bagi

Andaik \(∑a_n\) sebuah deret yang sukunya positif dan andaikan

\[\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \frac{a_{n+1}}{a_n}\]

  1. Jika \(ρ<1\) deret konvergen.
  2. Jika \(ρ>1\) atau \(\infty \) deret divergen
  3. Jika \(ρ=1\), deret bisa konvergen atau divergen (pengujian ini tidak memberikan kepastian).

Contoh 1:

Apakah deret \(\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{2^n}{n!} \) konvergen atau divergen?

Penyelesaian:

Karena

Gambar

maka menurut Uji Hasilbagi deret itu konvergen.

Contoh 2:

Selidiki apakah \(\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{2^n}{n^{20}} \) konvergen atau divegen

Penyelesaian:

Karena

Gambar

Kita simpulkan bahwa deret itu divergen.

Contoh 3:

Selidiki deret: \(\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{n!}{n^n} \) konvergen atau divegen

Penyelesaian:

Menurut Teorema Limit yang telah kita pelajari,

Gambar

sehingga

Gambar

Jadi, deret konvergen.

Contoh 4:

Tentukan apakah deret \(\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{n}{2^n} \) konvergen atau divegen.

Penyelesaian:

Misalkan \(a_n = \frac{n}{2^n}\), maka \(a_{n+1} = \frac{n+1}{2^{n+1}}\), sehingga

Gambar

karena \(\rho = \frac{1}{2} < 1 \), maka deret \(\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{n}{2^n} \) konvergen.

Sumber:

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

The only thing worse than being blind is having sight but no vision.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: