JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus II » Deret Pangkat, Taylor, dan Mac Laurin › Deret Pangkat
Deret

Deret Pangkat

Ada dua pertanyaan penting mengenai deret fungsi \((∑ u_n (x))\), yaitu: (i) Untuk nilai \(x\) manakah deret itu konvergen? dan (ii) Ke fungsi apakah deret itu konvergen?


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Sejauh ini kita telah mempelajari deret-deret yang terdiri atas konstanta-konstanta yang berbentuk \(∑u_n\), dengan \(u_n\) sebuah bilangan. Sekarang kita akan mempelajari deret suatu fungsi yang berbentuk \(∑u_n (x)\). Sebagai contoh, perhatikan deret berikut:

Gambar

Apabila untuk \(x\) kita substitusikan suatu nilai (misalnya \(x=2,1\)), kita peroleh suatu deret yang terdiri atas konstanta-konstanta yang telah kita pelajari.

Ada dua pertanyaan penting mengenai deret fungsi, yaitu: (i) Untuk nilai \(x\) manakah deret itu konvergen? dan (ii) Ke fungsi apakah deret itu konvergen; atau dengan kata lain, berapakah jumlah \(S(x)\) deret itu?

Sebuah deret pangkat dalam \(x\) mempunyai bentuk:

Gambar

(\(a_0 x^0\) kita anggap sebagai \(a_0\), juga apabila \(x = 0\)). Untuk deret pangkat ini, kita dapat menjawab dua pertanyaan di atas.

Contoh 1:

Untuk nilai-nilai \(x\) manakah deret pangkat

Gambar

konvergen dan berapakah jumlahnya? Anggap \(a≠0\).

Penyelesaian:

Deret di atas dinamakan deret geometri. Deret tersebut konvergen untuk \(-1 < x < 1\) dengan jumlah \(S(x)\) yang memenuhi hubungan

Gambar
Himpunan Kekonvergenan (Convergence Set)

Himpunan bilangan riil yang anggota-anggotanya membentuk suatu deret pangkat konvergen dinamakan himpunan kekonvergenan. Dari Contoh 1 dapat ditarik kesimpulan bahwa himpunan tersebut dapat berbentuk suatu selang terbuka (lihat Gambar 1).

Gambar

Gambar 1.

Contoh 2:

Tentukan himpunan kekonvergenan deret berikut:

Gambar

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa sekian suku-suku dapat berupa suku-suku negatif (apabila \(x\) negatif). Kita akan menggunakan Uji Hasilbagi Mutlak untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.

Gambar

Jadi, deret tersebut konvergen mutlak (jadi konvergen) apabila \(ρ=|x|/2<1\) dan divergen apabila \(ρ=|x|/2>1\). Jadi deret konvergen untuk \(|x|<2\) dan divergen untuk \(|x|>2\).

Apabila \(x = 2\) atau \(x = -2\), Uji Hasilbagi gagal. Akan tetapi jika \(x = 2\), deret tersebut adalah deret harmonik yang divergen; sedangkan apabila \(x = -2\), deret ini menjadi deret harmonik ganti-tanda yang konvergen. Sehingga himpunan kekonvergenan deret yang diketahui adalah selang \(-2≤x<2\) (Gambar 2).

Gambar

Gambar 2.

Contoh 3:

Tentukan himpunan kekonvergenan deret \( \displaystyle{ \sum_{n=0}^∞ \frac{x^n}{n!} }\).

Penyelesaian:

Karena

Gambar

maka berdasarkan Uji Hasilbagi Mutlak, deret konvergen untuk semua \(x\) (Gambar 3)

Gambar

Gambar 3.

Contoh 4:

Tentukan himpunan kekonvergenan deret \( \displaystyle{ \sum_{n=0}^∞ n!x^n }\).

Penyelesaian:

Karena

Gambar

Maka, deret konvergen hanya untuk \(x = 0\) (Gambar 4)

Gambar

Gambar 4.

Dalam tiap-tiap contoh di atas, himpunan kekonvergenan adalah sebuah selang (dalam contoh terakhir, selang itu menyempit menjadi satu titik). Memang himpunan kekonvergenan itu selalu berbentuk sebuah selang. Tidak mungkin suatu deret pangkat memiliki himpunan kekonvergenan yang terdiri atas dua bagian yang lepas (seperti \([0,1] \ \cup \ [2,3]\)). Sifat ini kita tuangkan dalam teorema berikut.

Teorema A:

Himpunan kekonvergenan sebuah deret pangkat \(∑a_n x^n\) selalu berbentuk selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut.

  1. Satu titik \(x = 0\)
  2. Selang \((-R, R)\), mungkin ditambah salah satu atau kedua titik ujungnya
  3. Seluruh himpunan bilangan riil

Dalam (i), (ii), dan (iii), dikatakan bahwa radius kekonvergenan masing-masing adalah \(0, \ R\) dan \(∞\).

Teorema B:

Deret pangkat \(∑a_n x^n\) konvergen mutlak pada bagian dalam selang kekonvergenannya. Pada titik ujungnya deret ini dapat pula konvergen mutlak, tetapi hal ini tidak selalu benar (lihat Contoh 2).

Deret Pangkat Dalam \(x-a\)

Sebuah deret yang berbentuk

Gambar

dinamakan deret pangkat dalam \(x-a\).

Sifat-sifat yang berlaku bagi deret pangkat dalam \(x\), berlaku pula bagi deret pangkat dalam \(x-a\). Khususnya, himpunan kekonvergenan berbentuk salah satu selang berikut.

  1. Titik tunggal \(x = a\).
  2. Selang \((a-R, a+R)\), mungkin ditambah dengan salah satu atau kedua titik ujungnya (Gambar 5)
  3. Seluruh himpunan bilangan riil.
Gambar

Gambar 5.

Contoh 5:

Tentukan himpunan kekonvergenan deret \( \displaystyle{ \sum_{n=0}^∞ \frac{(x-1)^2}{(n+1)^2} }\).

Penyelesaian:

Kita gunakan Uji Hasilbagi Mutlak.

Gambar

Jadi, deret ini konvergen apabila \(|x-1|<1\) , yaitu apabila \(0 < x < 2\); deret ini divergen apabila \(|x-1|>1\). Deret juga konvergen (bahkan konvergen mutlak) pada ujung-ujung selang, yaitu di \(x = 0\) dan \(x = 2\). Hal ini dapat dilihat apabila nilai-nilai tersebut disubstitusikan ke dalam deret. Jadi himpunan kekonvergenan deret adalah selang \([0,2]\) (Gambar 6).

Gambar

Gambar 6.

Contoh 6:

Tentukan himpunan kekonvergenan untuk

Gambar

Penyelesaian:

Suku ke-\(n\) adalah \( \displaystyle{ u_n = \frac{(x+2)^n \ln{n}}{n \cdot 3^n} }\)

Jadi,

Gambar

Kita ketahui deret ini konvergen bila \(p<1\), yaitu bila \(|x+2|<3\) atau \(-5 < x < 1\), tetapi kita harus memeriksa titik-titik ujungnya yaitu – 5 dan 1.

Pada \(x = - 5\).

Gambar

dan \(∑ (-1)^n (\ln{⁡n})/n\) konvergen berdasarkan Uji Deret Ganti-tanda.

Pada \(x = 1, \ U_n=(\ln{⁡n})/n\) dan \(∑(\ln{⁡n})/n\) divergen berdasarkan pembandingan dengan deret harmonik.

Dapat kita simpulkan bahwa deret tersebut konvergen pada interval \(-5≤x<1\).

Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

The greatest discovery of all time is that a person can change his future by merely changing his attitude.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: