JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus II » Turunan Fungsi Peubah Banyak › Optimasi Fungsi Peubah Banyak
Turunan

Optimasi Fungsi Peubah Banyak

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Sebenarnya konsep mengenai optimasi fungsi telah dijelaskan dalam bahasan mengenai aplikasi turunan dalam Kalkulus 1. Di sana kita membahas bagaimana mencari nilai maksimum dan minimum untuk fungsi satu peubah.

Akan tetapi, bagaimana jika fungsi yang ada bukan satu peubah, melainkan banyak peubah? Setelah selesai membaca tulisan ini, Anda akan bisa menjawabnya dengan yakin.

Sekarang, andaikan \(p=(x,y)\) dan \(p_0=(x_0,y_0)\) masing-masing berupa sebuah titik peubah dan sebuah titik tetap, di ruang dimensi-dua. Kita definisikan nilai maksimum dan minimum sebagai berikut.

Definisi: Nilai Maksimum dan Minimum

Andaikan \(p_0\) suatu titik di \(S\), yaitu daerah asal dari \(f\). Maka

  1. \(f(p_0)\) adalah nilai maksimum (global) dari \(f\) pada \(S\) jika \(f(p_o)≥f(p)\) untuk semua \(p\) di \(S\).
  2. \(f(p_0)\) adalah nilai minimum (global) dari \(f\) pada \(S\) jika \(f(p_o)≤f(p)\) untuk semua \(p\) di \(S\).
  3. \(f(p_0)\) adalah nilai ekstrem (global) dari \(f\) pada \(S\) jika ia adalah suatu nilai maksimum (global) atau suatu nilai nilai minimum (global).

Definisi yang sama berlaku dengan kata global digantikan oleh lokal jika pada (i) dan (ii), kita hanya memerlukan bahwa pertidaksamaan berlaku pada \(N∩S\), dengan N suatu lingkungan dari \(p_0\). \(f(p_0)\) adalah nilai ekstrem lokal \(f\) pada \(S\) jika \(f(p_0)\) adalah sebuah nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal.

Gambar 1 memberikan tafsiran geometri dari konsep yang telah kita definisikan. Perhatikan bahwa suatu maksimum (atau minimum) global secara otomatis adalah suatu maksimum (atau minimum) lokal.

Gambar

Gambar 1.

Teorema A: Teorema Keujudan Maksimum-Minimum

Jika \(f\) kontinu pada suatu himpunan tertutup dan terbatas \(S\), maka \(f\) mencapai suatu nilai maksimum (global) dan suatu nilai minimum (global) di \(S\).

Di mana Nilai-Nilai Ekstrem Muncul?

Situasinya serupa seperti pada kasus satu peubah. Titik-titik kritis dari \(f\) pada \(S\) ada tiga jenis.

  1. Titik-titik batas.
  2. Titik-titik stasioner. Kita sebut \(p_0\) suatu titik stasioner jika \(p_0\) adalah suatu titik-dalam dari \(S\) di mana \(f\) dapat didiferensialkan dan \(∇f(p_0)=0\). Pada titik yang demikian, bidang singgung adalah mendatar.
  3. Titik-titik singular. Kita sebut \(p_0\) suatu titik singular jika \(p_0\) adalah suatu titik-dalam dari \(S\) di mana \(f\) tidak dapat didiferensialkan – misalnya, titik di mana grafik \(f\) mempunyai pojok tajam.

Teorema B: Teorema Titik Kritis

Andaikan \(f\) didefinisikan pada suatu himpunan S yang mengandung \(p_0\). Jika \(f(p_0)\) adalah suatu nilai ekstrem, maka \(p_0\) haruslah berupa suatu titik kritis; yakni, \(p_0\) berupa salah satu dari:

  1. suatu titik batas dari \(S\); atau
  2. suatu titik stasioner dari \(f\); atau
  3. suatu titik singular dari \(f\).

Contoh 1:

Cari nilai-nilai maksimum atau minimum lokal dari \(f(x,y)=x^2-2x+y^2/4\).

Penyelesaian:

Fungsi yang diberikan dapat didiferensialkan sepanjang daerah asalnya, yaitu bidang \(xy\). Jadi, titik-titik kritis yang mungkin adalah titik-titik stasioner yang diperoleh dengan cara menetapkan \(f_x (x,y)\) dan \(f_y (x,y)\) sama dengan nol.

Tetapi \(f_x (x,y)=2x-2\) dan \(f_y (x,y)=y/2\) adalah nol hanya jika \(x = 1\) dan \(y = 0\). Tinggal memutuskan apakah \((1,0)\) memberikan nilai maksimum atau nilai minimum atau bukan keduanya. Perhatikan bahwa \(f(1,0)=-1\) dan

Gambar

Jadi, \(f(1,0)\) sebenarnya adalah suatu minimum global untuk \(f\). Tidak terdapat nilai-nilai maksimum lokal.

Contoh 2:

Tentukan nilai-nilai minimum atau maksimum lokal dari \(f(x,y)=-x^2/a^2 +y^2/b^2\) .

Penyelesaian:

Titik-titik kritis hanya diperoleh dengan menetapkan \(f_x (x,y)=-2x/a^2\) dan \(f_y (x,y)=2y/b^2\) sama dengan nol. Ini menghasilkan titik \((0,0)\), yang tidak memberikan suatu maksimum atau minimum (lihat Gambar 2). Ini disebut titik pelana (saddle point). Fungsi tersebut juga tidak mempunyai nilai ekstrim lokal.

Gambar

Gambar 2

Contoh 2 mengilustrasikan kenyataan yang menyulitkan bahwa \(∇f(x_0,y_0)=0\) tidak menjamin bahwa terdapat suatu ekstrem lokal di \((x_0,y_0)\). Untunglah, terdapat suatu kriteria yang baik untuk menentukan apa yang terjadi di suatu titik stasioner – topik kita yang berikutnya.

Syarat Cukup untuk Ekstrem

Anda seharusnya memikirkan teorema berikut sebagai suatu analogi terhadap Uji Turunan Kedua untuk fungsi satu peubah. Bukti dapat ditemukan dalam buku-buku kalkulus lanjutan.

Teorema C: Uji Parsial-Kedua

Andaikan bahwa \(f(x,y)\) mempunyai turunan parsial kedua kontinu di suatu lingkungan dari \((x_0,y_0)\) dan bahwa \(∇f(x_0,y_0)=0\). Ambil

Gambar

Maka:

  1. jika \(D > 0\) dan \(f_{xx} (x_0,y_0)<0\), maka \(f(x_0,y_0)\) adalah nilai maksimum lokal;
  2. jika \(D > 0\) dan \(f_{xx} (x_0,y_0)>0\), maka \(f(x_0,y_0)\) adalah nilai minimum lokal;
  3. jika \(D < 0\), \(f(x_0,y_0)\) bukan suatu nilai ekstrem \(((x_0,y_0)\) adalah titik pelana);
  4. jika \(D = 0\), pengujian tidak memberi kesimpulan.

Contoh 3:

Tentukan ekstrem, jika ada, untuk fungsi \(F\) yang didefinisikan oleh \(F(x,y)=3x^3+y^2-9x+4y\).

Penyelesaian:

Karena \(F_x (x,y)=9x^2-9\) dan \(F_y (x,y)=2y+4\), maka titik-titik kritis yang diperoleh dengan memecahkan persamaan simultan \(F_x (x,y)=F_y (x,y)=0\) adalah \((1, -1)\) dan \((-1, -2)\).

Sekarang \(F_{xx} (x,y)=18x, \ F_{yy} (x,y)=2\), dan \(F_{xy}=0\). Jadi pada titik kritis (1, -2), kita peroleh

\begin{aligned} D &= F_{xx} (1,-2)⋅F_{yy} (1,-2)-F_{xy}^2 (1,-2 \\[8pt] &= 18(2)-0=36 > 0 \\[8pt] \end{aligned}

Selain itu, karena \(F_{xx} (1,-2)=18>0\), sehingga menurut (ii), \(F(1,-2)=-10\) adalah nilai minimum lokal dari \(F\).

Dalam pengujian fungsi yang diberikan di titik kritis lainnya, \((-1,-2)\) kita dapatkan \(F_{xx} (-1,-2)=-18, \ F_{yy} (-1,-2)=2\), dan \(F_{xy} (-1,-2)=0\), yang menghasilkan \(D=-36<0\). Menurut (ii), \((-1,2)\) adalah titik pelana dan \(F(-1,-2)\) bukan suatu ekstrem.

Contoh 4:

Tentukan jarak minimum antara titik asal dan permukaan \(z^2=x^2 y+4\).

Penyelesaian:

Ambil \(P(x,y,z)\) titik sebarang pada permukaan tersebut. Kuadrat jarak dari titik asal dan \(P\) adalah \(d^2=x^2+y^2+z^2\). Kita mencari koordinat \(P\) yang memberikan \(d^2\) (dan oleh karena itu d) minimum.

Karena \(P\) terletak pada permukaan itu, koordinatnya memenuhi persamaan permukaan. Substitusi \(z^2=x^2 y+4\) pada \(d^2=x^2+y^2+z^2\), kita peroleh \(d^2\) sebagai fungsi dua peubah \(x\) dan \(y\):

Gambar

Untuk mencari titik kritisnya, kita tetapkan \(f_x (x,y)=0\) dan \(f_y (x,y)=0\), sehingga

Gambar

Dengan menghilangkan \(y\) dari persamaan-persamaan ini, kita dapatkan

Gambar

Jadi, \(x = 0\) atau \(x=±\sqrt{2}\). Dengan mensubstitusikan nilai-nilai ini pada persamaan kedua kita peroleh \(y = 0\) dan \(y = -1\). Karena itu, titik-titik kritisnya adalah \((0, 0), \ (\sqrt{2},-1)\) dan \((-\sqrt{2},-1)\).

Untuk menguji masing-masing ini, kita perlukan

\begin{aligned} f_{xx} (x,y) &=2+2y, \\[8pt] f_{yy} (x,y) &=2, \\[8pt] f_{xy} (x,y) &=2x, \\[8pt] D(x,y) &=f_{xx} f_{yy}-f_{xy}^2=4+4y-4x^2 \end{aligned}

Karena \(D(±\sqrt{2},-1)=-8<0\), maka \((\sqrt{2},-1)\) atau \((-\sqrt{2},-1)\) tidak memberikan suatu ekstrem. Tetapi, \(D(0,0) = 4 >0\) dan \(f_{xx} (0,0)=2>0\); sehingga \((0, 0)\) menghasilkan jarak minimum.

Dengan mensubstitusikan \(x = 0\) dan \(y = 0\) ke dalam ekspresi untuk \(d^2\), kita peroleh \(d^2=4\). Jarak minimum antara titik asal dan permukaan yang diberikan adalah 2.

Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

Let us sacrifice our today so that our children can have a better tomorrow.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: