JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus II » Integral Lipat Dua › Luas Daerah dengan Menggunakan Integral Lipat Dua
Integral Lipat

Luas Daerah dengan Menggunakan Integral Lipat Dua

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Anggaplah bahwa \(G\) adalah sebuah permukaan di atas daerah tertutup dan terbatas \(S\) pada bidang \(xy\). Asumsikan bahwa \(f\) kontinu pada turunan parsial pertama \(f_x\) dan \(f_y\). Kita mulai dengan membentuk suatu partisi \(P\) terhadap daerah \(S\) dengan garis-garis yang sejajar sumbu \(x\) dan \(y\) (lihat Gambar 1).

Misalkan \(R_m, \ m=1,2,…,n\) menunjukkan persegi panjang yang sepenuhnya terletak di dalam \(S\). Untuk setiap \(m\), misalkan \(G_m\) merupakan bagian dari permukaan \(G\) yang diproyeksikan terhadap \(R_m\) dan misalkan \(P_m\) adalah titik pada \(G_m\) yang diproyeksikan terhadap pojok \(R_m\) dengan koordinat \(x\) dan \(y\) yang paling kecil. Akhirnya, andaikan \(T_m\) menyatakan jajaran genjang dari bidang singgung pada Pm yang diproyeksikan terhadap \(R_m\), seperti ditunjukkan pada Gambar 1, dan lebih rincinya pada Gambar 2.

Gambar

Gambar 1 (Kiri) dan 2 (Kanan)

Selanjutnya, kita mencari luas jajar genjang \(Tm\) yang mana proyeksinya adalah \(Rm\). Misalkan \(u_m\) dan \(v_m\) menyatakan vektor yang membentuk sisi \(Tm\), maka

Gambar

Dari pelajaran kita sebelumnya, kita tahu bahwa luas jajar genjang \(Tm\) adalah \(‖u_m×v_m‖\), di mana

Gambar

Sehingga, luas \(Tm\) adalah

Gambar

Kemudian kita menambahkan luas jajar genjang singgung tersebut \(Tm, \ m = 1, 2, …, n\) dan mengambil limit untuk mendapatkan luas permukaan \(G\). Jika norma \(|P|\) partisi S adalah kecil, maka himpunan jajaran genjang singgung \(Tm\) akan mengaproksimasi permukaan \(G\), dan semakin kecil \(|P|\) dibuat, makin baik aproksimasi tersebut. Luas permukaan \(G\) didefinisikan sebagai

Gambar

atau lebih tepatnya,

Gambar

Gambar 1 digambarkan seakan-akan daerah \(S\) dalam bidang \(xy\) adalah persegi panjang; sering kali daerah \(S\) tidak berbentuk persegi panjang. Gambar 3 menunjukkan apa yang terjadi ketika \(S\) bukan sebuah persegi panjang.

Gambar

Gambar 3

Contoh 1:

Jika \(S\) daerah persegi panjang di bidang xy yang dibatasi oleh garis \(x = 0, \ x = 1, \ y = 0\), dan \(y = 2\), tentukan luas sebagian dari permukaan setengah tabung \(z=\sqrt{4-x^2}\) yang terproyeksikan pada \(S\) (Gambar 4).

Gambar

Gambar 4

Penyelesaian:

Andaikan \(f(x,y)=\sqrt{4-x^2}\). Maka \(f_x=-x/\sqrt{(4-x^2} \,f_y=0\), dan

Gambar

Contoh 2:

Tentukan luas permukaan \(z=x^2+y^2\) di bawah bidang \(z = 9\).

Penyelesaian:

Bagian \(G\) yang dimaksud diproyeksikan pada daerah melingkar \(S\) di dalam lingkaran \(x^2+y^2=9\) (Gambar 5). Andaikan \(f(x,y)=x^2+y^2\), maka \(f_x=2x, \ f_y=2y\), dan

Gambar Gambar

Gambar 5

Bentuk \(S\) menyarankan penggunaan koordinat kutub

Gambar
Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

Every child is an artist. The problem is how to remain an artist once he grows up.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: