JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus II » Uji Kekonvergenan Deret Tak Hingga › Uji Banding
Deret

Uji Banding

Inti dari uji banding adalah membandingkan suatu deret dengan deret lain. Jika deret yang lebih besar konvergen, maka deret yang lebih kecil juga konvergen (tidak berlaku sebaliknya).


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Inti dari uji banding adalah membandingkan suatu deret dengan deret lain. Jika deret yang lebih besar konvergen, maka deret yang lebih kecil juga konvergen (tidak berlaku sebaliknya). Jika deret yang lebih kecil divergen, maka deret yang lebih besar juga divergen (tidak berlaku sebaliknya).

Untuk lebih jelasnya, kita nyatakan dalam teorema berikut.

Teorema: Uji Banding Biasa

Misalkan \(∑ a_n\) dan \(∑ b_n\) adalah deret dengan suku-suku yang tak negatif dan andaikan

Gambar
  1. Jika deret yang lebih besar \(∑ b_n\) konvergen, maka deret yang lebih kecil \(∑ a_n\) juga konvergen (tidak berlaku sebaliknya).
  2. Jika deret yang lebih kecil \(∑ a_n\) divergen, maka deret yang lebih besar \(∑ b_n\) juga divergen (tidak berlaku sebaliknya).

Untuk dapat menggunakan uji banding ini, kita harus mencari pasangan deret yang akan dibandingkan. Sering kali, proses pencarian pasangan deret tersebut tidaklah mudah. Namun, dengan latihan yang cukup Anda akan bisa menemukannya dengan cepat.

Contoh 1:

Apakah \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(5n^2-4)}} \) konvergen atau divergen?

Penyelesaian:

Kita dapat menduga deret tersebut divergen, sebab untuk \(n\) yang cukup besar suku ke-\(n\) mirip dengan \(\frac{1}{5n}\). Di sini deret \(\frac{1}{5n}\) adalah deret yang lebih kecil, karena

Gambar

Kita tahu bahwa deret harmonik \(∑ \frac{1}{n} \) adalah divergen, sehingga \(∑ \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{n} \) juga divergen.

Jadi, karena deret yang lebih kecil divergen maka menurut Uji Banding Biasa deret yang lebih besar \(\sum \frac{n}{(5n^2-4)} \) juga divergen.

Contoh 2:

Apakah \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n (n+1)}} \) konvergen atau divergen?

Penyelesaian:

Agaknya deret ini konvergen, sebab untuk \(n\) cukup besar suku ke-\(n\) mirip dengan \((1/2)^n\). Tepatnya

Gambar

Deret geometri \(∑(1/2)^n\) adalah konvergen, sebab rasionya adalah \(½\). Jadi deret yang diketahui juga konvergen.

Contoh 3:

Apakah \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k-1/2}}} \) konvergen atau divergen?

Penyelesaian:

Bandingkan kedua deret:

Gambar

Karena \(\frac{a_k}{b_k} > 1\), maka \(a_k > b_k\) atau \(b_k < a_k\) dan karena \(a_k\) konvergen, maka \(b_k\) juga konvergen.

Contoh 4:

Apakah \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} + 1/2}} \) konvergen atau divergen?

Penyelesaian:

Bandingkan kedua deret:

Gambar

Karena \(\frac{a_n}{b_n} < 1\), maka \(a_n < b_n\) dan karena deret yang lebih besar \(b_n\) divergen (berdasarkan uji deret-p), maka tidak bisa dipakai uji banding.

Contoh 5:

Apakah \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^2+1}} \) konvergen atau divergen?

Penyelesaian:

Misalkan, \( a_k = \frac{k}{k^2+1} \) dan \( b_k = \frac{1}{k} \).

Dengan membandingkan kedua deret tersebut, diperoleh

Gambar

Karena \(\frac{a_k}{b_k} < 1 \), maka \(a_k < b_k\).

Karena deret yang lebih besar (\(b_k\)) divergen, maka belum tentu deret yang lebih kecil divergen sehingga untuk menentukan apakah deret \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^2+1}} \) konvergen atau divergen harus ganti uji yang lain.

Sumber:

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

Great minds discuss ideas; average minds discuss events; small minds discuss people.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: