JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus II » Turunan Fungsi Peubah Banyak › Aturan Rantai untuk Turunan Fungsi Peubah Banyak
Turunan

Aturan Rantai untuk Turunan Fungsi Peubah Banyak

Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komposisi satu peubah telah dipelajari pada kalkulus I. Pada artikel ini, kita akan membahas perluasan dari aturan rantai ini khususnya untuk fungsi-fungsi beberapa peubah.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komposisi satu peubah telah kita pelajari pada materi kalkulus I. Sebagai contoh, jika \(y=f(x(t))\), dengan \(f\) dan \(x\) keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka turunan \(y\) terhadap \(t\) dapat dinyatakan dengan

Gambar

Pada artikel ini, kita akan membahas perluasan dari aturan rantai ini khususnya untuk fungsi-fungsi beberapa peubah. Terdapat dua versi dari aturan rantai untuk beberapa peubah.

Versi pertama

Jika \(z=f(x,y)\), dengan \(x\) dan \(y\) adalah fungsi \(t\), maka masuk akal menanyakan \(dz/dt\), dan seharusnya ada sebuah rumus untuknya. Kita nyatakan dalam teorema berikut.

Teorema A: Aturan Rantai

Andaikan \(x=x(t)\) dan \(y=y(t)\) dapat didiferensialkan di \(t\) dan andaikan \(z=f(x,y)\) dapat didiferensialkan di \((x(t),y(t))\). Maka \(z=f(x(t), y(t))\) dapat didiferensialkan di \(t\), yakni

Gambar

Contoh 1:

Misalkan \(z=x^3 y\) dengan \(x=2t\) dan \(y=t^2\). Tentukan \(dz/dt\).

Penyelesaian:

Gambar

Tentu saja kita dapat menyelesaikan Contoh 1 di atas tanpa menerapkan Aturan Rantai. Dengan substitusi langsung, kita peroleh

Gambar

Contoh 2:

Misalkan bahwa sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi, radiusnya bertambah pada laju 0,2 sentimeter per jam dan tingginya bertambah pada laju 0,5 sentimeter per jam. Tentukan laju pertambahan luas permukaan terhadap waktu pada saat radius sama dengan 10 sentimeter dan tinggi sama dengan 100 sentimeter.

Penyelesaian:

Gambar

Gambar 1.

Rumus total luas permukaan sebuah tabung (Gambar 1) adalah

Gambar

Jadi,

Gambar

Pada \(r = 10\) dan \(h = 100\), maka

Gambar

Hasil dalam Teorema A dapat diperluas ke sebuah fungsi tiga peubah. Perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 3:

Andaikan \(w=x^2 y+y+xz\), dengan \(x=\cos{⁡θ},y=\sin{⁡θ}\),dan \(z=θ^2\). Tentukan \(dw/dθ\) dan hitung nilainya di \(θ=π/3\).

Penyelesaian:

Gambar

Pada \(θ=π/3\), maka

Gambar
Versi kedua

Andaikan bahwa \(z=f(x,y)\) dengan \(x=x(s,t)\) dan \(y=y(s,t)\). Maka masuk akal untuk menanyakan \(∂z/∂s\) dan \(∂z/∂t\). Kita nyatakan dalam teorema berikut.

Teorema B: Aturan Rantai

Misalkan \(x=x(s,t)\) dan \(y=y(s,t)\) mempunyai turunan pertama di \((s,t)\) dan misalkan \(z=f(x,y)\) dapat didiferensialkan di \((x(s,t),y(s,t))\). Maka \(z=f(x(s,t),y(s,t))\) mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh

Gambar

Contoh 4:

Jika \(z=3x^2-y^2\) dengan \(x=2s+7t\) dan \(y=5st\), tentukan \(∂z/∂t\), dan nyatakan dalam bentuk \(s\) dan \(t\).

Penyelesaian:

Gambar

Tentu saja, jika kita substitusikan pernyataan \(x\) dan \(y\) ke dalam rumus untuk \(z\) dan kemudian mengambil turunan parsial terhadap \(t\), kita dapatkan jawaban yang sama.

Gambar

Contoh 5:

Jika \(w=x^2+y^2+z^2+xy\), dengan \(x=st,y=s-t\),dan \(z=s+2t\), tentukan \(∂w/∂t\).

Penyelesaian:

Gambar
Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

The man who removes a mountain begins by carrying away small stones.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: