Contoh 1:

Tentukan apakah deret-deret berikut konvergen atau divergen?

a. \( \displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{3n-2}{n^3-2n^2+11} } \)

b. \( \displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+19n}} } \)

Penyelesaian:

Kita gunakan Uji Banding Limit. Untuk ini kita terlebih dahulu harus menentukan pembanding suku ke-n deret ini. Kita harus memeriksa bentuk suku ke-n untuk n yang besar; yang dapat kita tentukan dengan melihat suku-suku derajat tertinggi dalam pembilang dan penyebut suku umum.

Untuk deret (a), suku umumnya mirip dengan \(3/n^2\); untuk deret (b), suku umumnya mirip dengan 1/n.

Jadi, deret pada (a) konvergen dan pada (b) divergen.

Contoh 3:

Apakah \( \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1}} \) konvergen atau divergen?

Pembahasan:

\( \displaystyle{a_n = \frac{n}{n^2+1}} \) dan \( \displaystyle{b_n = \frac{1}{n}}\) (deret harmonik sehingga divergen)

Karena \( L = 1 > 0\) dan terbatas, dan karena \( \displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}} \) divergen maka deret \( \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1}} \) juga divergen.