Kalkulus II   »   Integral Lipat Dua   ›  Integral Lipat Dua Atas Daerah Bukan Persegi Panjang - Materi, Contoh Soal dan Pembahasan

Integral Lipat

Integral Lipat Dua Atas Daerah Bukan Persegi Panjang - Materi, Contoh Soal dan Pembahasan

Batas-batas integral lipat dua dapat berupa suatu daerah persegi panjang dan daerah bukan persegi panjang. Di sini, kita akan mempelajari integral lipat dua dengan batas-batas berupa daerah bukan persegi panjang.

---

Pada artikel sebelumnya, kita telah membahas integral lipat dua untuk daerah berupa persegi panjang. Pada artikel ini, kita lanjutkan integral lipat dua untuk daerah yang bukan persegi panjang.

Sekarang perhatikan suatu daerah \(S\) tertutup dan terbatas pada suatu bidang seperti terlihat Gambar 1 di bawah. Daerah \(S\) dikelilingi oleh suatu persegi panjang \(R\) dengan sisi-sisinya sejajar sumbu-sumbu koordinat (Gambar 1).

Andaikan terdapat suatu fungsi dua peubah \(f(x,y)\) yang terdefinisi pada S dan misalkan \(f(x,y)=0\) pada bagian \(R\) di luar \(S\) (Gambar 2), maka kita katakan bahwa \(f\) dapat diintegralkan pada \(S\) jika ia dapat diintegralkan pada \(R\) dan tuliskan sebagai berikut:

Gambar 1 (Kiri) dan 2 (Kanan)

Integral Lipat Dua atas Himpunan-Himpunan Umum

Himpunan atau daerah pengintegralan lipat dua dengan batas-batas melengkung dapat menjadi sangat rumit. Di sini, kita cukup meninjau apa yang disebut himpunan \(x\) sederhana dan himpunan \(y\) sederhana. Suatu himpunan \(S\) adalah \(y\) sederhana (Gambar 3) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu \(ϕ_1\) dan \(ϕ_2\) pada \([a,b]\) sedemikian sehingga

Suatu himpunan \(S\) adalah \(x\) sederhana (Gambar 4) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu \(ψ_1\) dan \(ψ_2\) pada \([c, d]\) sedemikian sehingga

Gambar 3 (Kiri) dan 4 (Kanan)

Perhatikan bahwa setiap garis tegak memotong suatu himpunan \(y\) sederhana dalam satu ruas garis. Hal yang sama berlaku untuk himpunan \(x\) sederhana dengan garis-garis mendatar. Gambar 5 memperlihatkan suatu himpunan yang bukan \(x\) sederhana maupun \(y\) sederhana.

Gambar 5 (Kiri) dan 6 (Kanan)

Sekarang andaikan kita ingin menghitung integral lipat dua dari suatu fungsi \(f(x,y)\) atau suatu himpunan \(S\) yang \(y\) sederhana. Kita lingkungi \(S\) dalam suatu persegi panjang \(R\) (Gambar 6) dan membuat \(f(x,y)=0\) di luar \(S\). Maka

Secara ringkas,

Dalam integral sebelah dalam, \(x\) dipertahankan tetap; jadi pengintegralan itu adalah sepanjang garis tebal dari Gambar 6. Pengintegralan ini menghasilkan luas \(A(x)\) dari penampang yang diperlihatkan pada Gambar 7 di bawah. Kemudian, \(A(x)\) diintegralkan mulai dari \(a\) sampai \(b\).

Jika himpunan \(S\) adalah \(x\) sederhana (Gambar 4), penalaran serupa akan menghasilkan rumus berikut:

Gambar 7 (Kiri) dan 8 (Kanan)

Jika himpunan S bukan \(x\) sederhana maupun \(y\) sederhana (Gambar 5), biasanya ia dapat dipandang sebagai suatu gabungan potongan-potongan yang berupa himpunan x sederhana atau y sederhana. Sebagai contoh, annulus dalam Gambar 8 merupakan gabungan dua himpunan \(y\) sederhana yaitu \(S_1\) dan \(S_2\). Integral pada potongan-potongan ini dapat dihitung dan ditambahkan bersama untuk memperoleh integral atas \(S\).

Contoh-Contoh Soal

Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Kalkulus dan Geometri Analitis, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.