Kalkulus II   »   Integral Lipat Dua   ›  Integral Lipat Dua Dalam Koordinat Polar - Materi, Contoh Soal dan Pembahasan

Integral Lipat

Integral Lipat Dua Dalam Koordinat Polar - Materi, Contoh Soal dan Pembahasan

Kurva-kurva tertentu seperti lingkaran, kardioid, dan lainnya, lebih mudah diuraikan dalam bentuk koordinat polar sehingga integral lipat dua atas daerah yang dilingkungi oleh kurva-kurva yang demikian lebih mudah dihitung dengan menggunakan koordinat polar.

---

Kurva-kurva tertentu pada bidang, seperti lingkaran, kardioid, dan lainnya, lebih mudah diuraikan dalam bentuk koordinat polar daripada dalam koordinat Cartesius (persegi panjang). Jadi, kita dapat mengharapkan bahwa integral lipat dua atas daerah yang dilingkungi oleh kurva-kurva yang demikian lebih mudah dihitung dengan menggunakan koordinat kutub.

Gambar 1

Andaikan \(R\) mempunyai bentuk yang diperlihatkan pada Gambar 1, yang kita namakan suatu persegi panjang kutub. Andaikan \(z = f(x,y)\) menentukan suatu permukaan atas \(R\) dan andaikan \(f\) adalah kontinu dan taknegatif. Maka Volume \(V\) dari benda pejal di bawah permukaan ini dan di atas \(R\) (Gambar 2) diberikan oleh

Gambar 2

Dalam koordinat kutub, suatu persegi panjang kutub \(R\) berbentuk

dengan \(a≥0\) dan \(β-α≤2π\). Juga, persamaan permukaan dapat dituliskan sebagai

Kita akan menghitung volume \(V\) dengan suatu cara baru yang menggunakan koordinat kutub.

Partisi \(R\) ke dalam persegipanjang kutub yang lebih kecil \(R_1,R_2,…,R_n\) dengan menggunakan suatu kisi kutub dan andaikan \(Δr_k\) dan \(Δθ_k\) menunjukkan ukuran kepingan \(R_k\) yang khas, seperti diperlihatkan pada Gambar 3. Luas \(A(R_k)\) diberikan oleh

dengan \(\overline{r}_k\) adalah radius rata-rata \(R_k\). Jadi,

Gambar 3

Bilamana kita mengambil limit untuk norma dari partisi mendekati nol, kita seharusnya memperoleh volume yang sebenarnya. Limit ini adalah suatu integral lipat dua.

Sekarang kita mempunyai dua rumus untuk \(V\), yakni, (1) dan (2). Dengan menyamakan keduanya dihasilkan

Sekarang kita perkenalkan apa yang disebut himpunan \(r\) sederhana dan \(θ\) sederhana dalam pengintegralan kutub. Sebut himpunan \(S\) suatu himpunan \(r\) sederhana jika ia berbentuk (Gambar 5)

dan disebut \(θ\) sederhana jika ia berbentuk (Gambar 6)

Gambar 5 (Kiri) dan 6 (Kanan)

Integral Peluang

Dalam teori peluang dan statistika, kita membahas fungsi kepadatan peluang normal standar

Syarat dari fungsi tersebut yakni \( ∫_\limits{-∞}^∞ f(x) dx=1\). Kita dapat membuktikan bahwa integral tersebut sama dengan 1 dengan menggunakan integral lipat dua dalam koordinat polar. Klik link berikut untuk melihat pembuktiannya.

Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.