JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus II » Integral Lipat Dua › Integral Lipat Dua Dalam Koordinat Polar
Integral Lipat

Integral Lipat Dua Dalam Koordinat Polar

Kurva-kurva tertentu seperti lingkaran, kardioid, dan lainnya, lebih mudah diuraikan dalam bentuk koordinat polar sehingga integral lipat dua atas daerah yang dilingkungi oleh kurva-kurva yang demikian lebih mudah dihitung dengan menggunakan koordinat polar.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Kurva-kurva tertentu pada bidang, seperti lingkaran, kardioid, dan lainnya, lebih mudah diuraikan dalam bentuk koordinat polar daripada dalam koordinat Cartesius (persegi panjang). Jadi, kita dapat mengharapkan bahwa integral lipat dua atas daerah yang dilingkungi oleh kurva-kurva yang demikian lebih mudah dihitung dengan menggunakan koordinat kutub.

Gambar

Gambar 1

Andaikan \(R\) mempunyai bentuk yang diperlihatkan pada Gambar 1, yang kita namakan suatu persegi panjang kutub. Andaikan \(z = f(x,y)\) menentukan suatu permukaan atas \(R\) dan andaikan \(f\) adalah kontinu dan taknegatif. Maka Volume \(V\) dari benda pejal di bawah permukaan ini dan di atas \(R\) (Gambar 2) diberikan oleh

Gambar Gambar

Gambar 2

Dalam koordinat kutub, suatu persegi panjang kutub \(R\) berbentuk

Gambar

dengan \(a≥0\) dan \(β-α≤2π\). Juga, persamaan permukaan dapat dituliskan sebagai

Gambar

Kita akan menghitung volume \(V\) dengan suatu cara baru yang menggunakan koordinat kutub.

Partisi \(R\) ke dalam persegipanjang kutub yang lebih kecil \(R_1,R_2,…,R_n\) dengan menggunakan suatu kisi kutub dan andaikan \(Δr_k\) dan \(Δθ_k\) menunjukkan ukuran kepingan \(R_k\) yang khas, seperti diperlihatkan pada Gambar 3. Luas \(A(R_k)\) diberikan oleh

Gambar

dengan \(\overline{r}_k\) adalah radius rata-rata \(R_k\). Jadi,

Gambar Gambar

Gambar 3

Bilamana kita mengambil limit untuk norma dari partisi mendekati nol, kita seharusnya memperoleh volume yang sebenarnya. Limit ini adalah suatu integral lipat dua.

Gambar

Sekarang kita mempunyai dua rumus untuk \(V\), yakni, (1) dan (2). Dengan menyamakan keduanya dihasilkan

Gambar

Contoh 1

Tentukan volume \(V\) dari benda padat di atas persegipanjang kutub (Gambar 4).

Gambar

dan di bawah permukaan \(z = e^{{x^2}+{y^2}}\).

Gambar

Gambar 4

Penyelesaian:

Karena \(x^2+y^2=r^2\), maka

Gambar

Tanpa pertolongan koordinat kutub, kita tidak akan pernah menyelesaikan masalah ini. Perhatikan bagaimana faktor tambahan \(r\) adalah apa yang kita perlukan untuk menganti-turunkan \(e^{r^2}\).

Sekarang kita perkenalkan apa yang disebut himpunan \(r\) sederhana dan \(θ\) sederhana dalam pengintegralan kutub. Sebut himpunan \(S\) suatu himpunan \(r\) sederhana jika ia berbentuk (Gambar 5)

Gambar

dan disebut \(θ\) sederhana jika ia berbentuk (Gambar 6)

Gambar Gambar

Gambar 5 (Kiri) dan 6 (Kanan)

Contoh 2:

Hitung

Gambar

di mana S adalah daerah di kuadran pertama yang berada di luar lingkaran \(r = 2\) dan di dalam kardioid \(r=2(1+\cos⁡ θ)\) (lihat Gambar 7).

Gambar

Gambar 7

Penyelesaian:

Karena \(S\) adalah suatu himpunan \(r\) sederhana, kita tuliskan integral yang diberikan sebagai suatu integral lipat kutub, dengan \(r\) sebagai peubah pengintegralan pertama. Dalam pengintegralan sebelah dalam ini, \(θ\) dipertahankan tetap; pengintegralan adalah sepanjang garis tebal dari Gambar 7 mulai dari \(r = 2\) ke \(r=2(1+\cos⁡θ)\).

Gambar

Contoh 3:

Tentukan volume benda pejal di bawah permukaan \(z=x^2+y^2\), di atas bidang \(xy\), dan di dalam tabung \(x^2+y^2=2y\) (Gambar 8).

Gambar

Gambar 8

Penyelesaian:

Dari simetri, kita dapat menggandakan volume di oktan pertama. Bilamana kita memakai \(x=r \cos⁡θ\) dan \(y = r \sin⁡θ\), persamaan permukaan menjadi \(z=r^2\) dan persamaan tabung menjadi \(r=2 \sin⁡θ\). Andaikan \(S\) menyatakan daerah yang diperlihatkan pada Gambar 9. Volume \(V\) yang diminta diberikan oleh

Gambar Gambar

Gambar 9

Integral Peluang

Dalam teori peluang dan statistika, kita membahas fungsi kepadatan peluang normal standar

Gambar

Syarat dari fungsi tersebut yakni \( ∫_\limits{-∞}^∞ f(x) dx=1\). Kita dapat membuktikan bahwa integral tersebut sama dengan 1 dengan menggunakan integral lipat dua dalam koordinat polar. Klik link berikut untuk melihat pembuktiannya.

Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

I am thankful to those who said NO to me. It’s because of them I did it myself.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: