Kalkulus II   »   Transformasi Koordinat   ›  Transformasi Koordinat dalam Integral Lipat - Materi, Contoh Soal dan Pembahasan

Integral Lipat

Transformasi Koordinat dalam Integral Lipat - Materi, Contoh Soal dan Pembahasan

Kita namakan penggantian peubah (change of variables) ini sebagai transformasi. Sering kali, alasan mengganti peubah adalah untuk memperoleh integral yang bisa dikerjakan dengan peubah baru tersebut.

---

Sering kali, kita perlu menghitung integral lipat dua atau lipat tiga dalam sebuah sistem koordinat selain sistem koordinat-\(xy\). Ini mungkin dilakukan baik karena bentuk daerah pengintegralan yang rumit maupun karena kompleknya fungsi integran dalam suatu integral. Mengubah integral lipat dalam suatu sistem koordinat baru akan membantu dalam menyederhanakan penghitungan.

Penggantian Peubah/Variabel (Change of Variables)

Anda mungkin masih ingat pelajaran dalam Kalkulus 1 bahwa teknik substitusi untuk mencari integral dapat dinyatakan dengan

Perhatikan bahwa kita mengambil integral dalam bentuk peubah \(x\) dan mengubahnya menjadi integral dalam bentuk peubah \(u\). Sebagai contoh, untuk mengerjakan integral

kita substitusi \(u=g(x)=x^2-4\), maka \(du = 2x \ dx\) atau \(x \ dx = ½ \ du\) dan batas pengintegralan berubah yaitu \(u=g(2)=2^2-4=0\) dan \(u=g(3)=3^2-4=5\). Oleh karena itu, integral aslinya diubah menjadi

Tentu saja, integral terakhir dalam bentuk peubah \(u\) lebih mudah dihitung. Dengan kata lain, ketika menyelesaikan masalah integral, kita membuat substitusi yang tepat untuk memperoleh integral yang menjadi lebih sederhana daripada bentuk integral aslinya (original integral).

Kita namakan penggantian peubah (change of variables) ini sebagai transformasi. Sering kali, alasan mengganti peubah adalah untuk memperoleh integral yang bisa dikerjakan dengan peubah baru tersebut. Alasan lainnya yaitu untuk mengubah daerah pengintegralan yang kompleks menjadi daerah yang lebih sederhana untuk dikerjakan.

Kita akan melakukan hal yang serupa untuk integral lipat dua dan lipat tiga. Sebenarnya, kita telah melakukan hal ini saat kita mengubah integral lipat dua ke koordinat polar dan saat kita mengubah integral lipat tiga ke koordinat tabung dan bola. Hanya saja, saat itu kita belum menjelaskan secara detail darimana rumus tersebut berasal.

Rumus untuk mengganti peubah diberikan oleh

di mana: \(x = x(u,v), \ y = y(u,v)\), \(S\) adalah daerah pengintegralan baru hasil transformasi dan

disebut jacobian transformasi \((x,y) → (u,v)\).

Misalkan bahwa transformasi \((x,y) → (u,v)\) adalah pemetaan satu-satu dari \(R\) ke daerah \(S\), hubungan invers dijelaskan oleh Jacobian.

Oleh karena itu, penggunakan penggantian peubah dalam integral lipat dua memerlukan tiga langkah berikut:

1. Cari daerah S dalam sistem koordinat baru \((u,v)\) untuk daerah awal pengintegralan R;
2. Hitunglah Jacobian transformasi \((x,y) → (u,v)\) dan tuliskan turunannya (diferential) terhadap variabel baru:

3. Ganti \(x\) dan \(y\) dalam integran dengan substitusi \(x = x(u,v)\) dan \(y = y(u,v)\).

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.