Kalkulus II   »   Turunan Fungsi Peubah Banyak   ›  Optimasi Fungsi dengan Metode Pengali Lagrange - Materi, Contoh Soal dan Pembahasan

Turunan

Optimasi Fungsi dengan Metode Pengali Lagrange - Materi, Contoh Soal dan Pembahasan

Dalam hidup ini kita akan menjumpai banyak masalah dan kadang kala masalah tersebut dapat dirumuskan sehingga akan melibatkan memaksimumkan atau meminimumkan (nilai ekstrem) fungsi tertentu.

---

Dalam hidup ini kita akan menjumpai banyak masalah dan kadang kala masalah tersebut dapat dirumuskan sehingga akan melibatkan memaksimumkan atau meminimumkan (nilai ekstrem) fungsi tertentu. Secara umum, masalah tersebut dapat dibedakan menjadi dua yakni masalah nilai ekstrem bebas dan masalah nilai ekstrem terkendala.

Banyak permasalahan di dunia nyata, khususnya di bidang ekonomi, termasuk jenis masalah yang kedua. Sebagai contoh, seorang pengusaha ingin memaksimumkan keuntungan, tetapi dibatasi oleh banyaknya bahan mentah yang tersedia, banyaknya tenaga kerja, dan sebagainya.

Masalah nilai ekstrem bebas (tanpa kendala) telah kita bahas pada artikel sebelumnya. Contohnya adalah ketika kita mencari nilai minimum dari \(x^2+2y^2+z^4+4\). Kita sebut ini sebagai masalah nilai ekstrem bebas karena tidak ada kendala dalam proses pencarian nilai minimum fungsi tersebut.

Ini berbeda dengan masalah nilai ekstrem terkendala yang mana ketika mencari nilai ekstrem suatu fungsi, kita menghadapi kendala tertentu. Sebagai contoh, kita diminta mencari jarak minimum dari permukaan \(z^2=x^2 y+4\) ke titik asal. Kita formulasikan masalah sebagai peminimuman \(d^2=x^2+y^2+z^2\) terhadap kendala \(z^2=x^2 y+4\). Kita tangani masalah tersebut dengan mensubstitusi nilai \(z^2\) dari kendala dalam rumus untuk \(d^2\) dan kemudian menyelesaikan masalah nilai ekstrem bebas yang dihasilkan.

Contoh lain misalnya ketika kita diminta mencari nilai maksimum dan minimum fungsi \(f(x,y)=2+x^2+y^2\) pada himpunan tertutup dan terbatas \(S={(x,y):x^2+1/4 y^2≤1}\). Kita tahu bahwa nilai maksimum muncul pada batas daerah \(S\), sehingga kita diarahkan pada masalah memaksimumkan \(z=2+x^2+y^2\) terhadap kendala \(x^2+1/4 y^2=1\). Masalah ini diselesaikan dengan mencari sebuah parameter untuk kendala tersebut dan kemudian memaksimumkan fungsi satu variabel (variabel yang menjadi parameter dalam kendala).

Namun, sering kali terjadi bahwa persamaan kendala tidak mudah diselesaikan untuk salah satu peubah dan, kendatipun hal ini dapat dikerjakan, boleh jadi terdapat metode lain yang lebih praktis. Ini adalah metode pengali Lagrange, dinamai menurut penemunya yakni Josefph Louis lagrange.

Tafsiran Geometri dari Metode Pengali Lagrange

Bagian masalah dalam Contoh di atas adalah memaksimalkan fungsi objektif \(f(x,y)=2+x^2+y^2\) terhadap kendala \(g(x,y)=0\), di mana \(g(x,y)=x^2+1/4 y^2-1\). Gambar 1 menunjukkan permukaan \(z=f(x,y)\) bersama dengan kendala.

Di sini, elliptical cylinder menyatakan kendala. Bagian kedua dalam Gambar 1 menunjukkan perpotongan kendala dan permukaan \(z=f(x,y)\). Masalah optimisasi adalah mencari di mana, bersama kurva perpotongan ini, fungsi tersebut maksimum dan di mana ia minimum. Baik bagian kedua dan ketiga dalam Gambar 1 menyarankan bahwa nilai maksimum dan minimum akan muncul apabila kurva ketinggian fungsi objektif \(f\) bersinggungan dengan kurva kendala. Ini adalah ide kunci di belakang metode pengali Lagrange.

Gambar 1.

Pertama mari kita pandang kasus di mana kita ingin memaksimumkan atau meminimumkan \(f(x,y)\) terhadap kendala \(g(x,y)=0\). Gambar 1 memberikan saran atau suatu tafsiran geometri dari masalah ini.

Gambar 2.

Kurva ketinggian dari \(f\) adalah kurva-kurva \(f(x,y)=k\), dengan \(k\) suatu konstanta. Kurva-kurva tersebut diperlihatkan sebagai kurva-kurva hitam pada Gambar 2 untuk \(k = 200, \ 3000, …,700\). Grafik dari kendala \(g(x,y)=0\) juga berupa sebuah kurva; ia diperlihatkan dalam warna pada Gambar 2.

Untuk memaksimumkan \(f\) terhadap kendala \(g(x,y)=0\) sama dengan mencari kurva ketinggian dengan kemungkinan \(k\) terbesar yang memotong kurva kendala, secara geometri jelas dari Gambar 2 bahwa kurva ketinggian yang demikian menyinggung kurva kendala di suatu titik \(P_0 (x_0,y_0)\) dan karenanya nilai maksimum \(f\) terhadap kendala \(g(x,y)=0\) adalah \(f(x_0,y_0)\). Titik singgung lainnya \(P_1 (x_1,y_1)\) memberikan nilai minimum \(f(x_1,y_1)\) dari \(f\) terhadap kendala \(g(x,y)=0\).

Metode Lagrange menyajikan suatu prosedur aljabar untuk penentuan titik \(P_0\) dan \(P_1\). Karena di titik-titik demikian, kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung (yaitu, mempunyai suatu garis singgung bersama), kedua kurva tersebut mempunyai suatu garis tegaklurus bersama. Tetapi di sebarang titik dari kurva ketinggian, vektor gradien \(∇f\) adalah tegaklurus terhadap kurva ketinggian (Pasal 15.5), dan dengan cara serupa \(∇g\) adalah tegaklurus terhadap kurva kendala. Jadi \(∇f\) dan \(∇g\) sejajar di \(P_0\) dan juga di \(P_1\) yaitu

untuk suatu bilangan \(λ_0\) dan \(λ_1\) taknol.

Dua atau Lebih Kendala

Bilamana ada lebih dari satu kendala yang diberlakukan pada peubah-peubah suatu fungsi yang harus dimaksimumkan atau diminimumkan, maka digunakan pengali-pengali Lagrange tambahan (satu untuk setiap kendala). Misalnya, jika kita mencari ekstrem suatu fungsi \(f\) tiga peubah, terhadap dua kendala \(g(x,y,z)=0\) dan \(h(x,y,z)=0\), kita pecahkan persamaan-persamaan

untuk \(x, y, z, λ\), dan \(μ\), dengan \(λ\) dan \(μ\) adalah pengali-pengali Lagrange. Ini setara terhadap pencarian penyelesaian sistem lima persamaan simultan dalam peubah-peubah \(x, y , z, λ\) dan \(μ\).

Dari penyelesaian sistem ini kita peroleh titik-titik kritis.

Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.