Kalkulus II   »   Uji Kekonvergenan Deret Tak Hingga   ›  Definisi Kekonvergenan Deret - Materi, Contoh Soal dan Pembahasan

Deret

Definisi Kekonvergenan Deret - Materi, Contoh Soal dan Pembahasan

Dalam mempelajari deret tak hingga, selalu muncul dua pertanyaan penting. Pertama, apakah deret itu konvergen? Kedua, apabila deret tersebut konvergen, berapakah jumlahnya?

---

Dalam mempelajari deret tak hingga, selalu muncul dua pertanyaan penting. Pertama, apakah deret itu konvergen? Kedua, apabila deret tersebut konvergen, berapakah jumlahnya? Kekonvergenan suatu deret tak hingga ditentukan dari barisan jumlah-jumlah parsial {Sn} dari deret tersebut. Lalu, apa itu barisan jumlah parsial dari suatu deret?

Untuk menjelaskan barisan jumlah parsial, akan lebih baik jika dimulai dengan menperkenalkan barisan tak hingga yang dinotasikan dengan \(\{a_n\}_{n=1}^∞\). Perhatikan bahwa kita memulai barisan pada \(n = 1\) untuk tujuan kemudahan, tapi dalam kenyataannya ia bisa mulai dari berapa saja. Kita telah mempelajari barisan tak hingga, jadi harusnya topik itu bukanlah masalah di sini.

Sekarang, kita akan mendefinisikan jumlah deret parsial sebagai

yang mana ini membentuk suatu barisan baru, kita notasikan \(\{s_n\}_{n=1}^∞\).

Sebuah deret tak hingga adalah limit dari barisan jumlah parsial tersebut, atau kita nyatakan sebagai

Jika barisan jumlah parsial tersebut adalah barisan yang konvergen yakni limitnya ada dan terhingga, maka deret tak hingga tersebut dikatakan konvergen dan dalam kasus ini jika \( \lim_\limits{n\to ∞} s_n = s \) maka \(∑_\limits{i=1}^∞ a_i = s\). Sebaliknya, jika barisan jumlah parsial tersebut adalah barisan yang divergen yakni limitnya tidak ada dan tak hingga, maka deret tak hingga tersebut dikatakan divergen.

Mari kita lihat beberapa contoh bagaimana menentukan kekonvergenan dan kedivergenan suatu deret tak hingga berikut ini.

Dari beberapa contoh yang diberikan di atas, untuk menentukan kekonvergenan deret maka kita perlu mencari rumus bentuk umum dari jumlah parsial deret tersebut. Sebagian besar pasti akan setuju bahwa menemukan rumus bentuk umum dari jumlah parsial bukanlah perkara yang mudah.

Faktanya pada bagian selanjutnya kita tidak akan melakukan banyak hal dengan jumlah parsial deret karena kesulitan yang dihadapi dalam menemukan rumus umum. Ini juga berarti bahwa kita tidak akan melakukan banyak pekerjaan dengan nilai deret karena untuk mendapatkan nilai tersebut kita juga perlu mengetahui rumus umum untuk jumlah parsial.

Sekarang mari kita ingat kembali bahwa dari 4 contoh yang diberikan dua di antaranya merupakan deret tak hingga yang konvergen dan duanya lagi adalah deret tak hingga yang divergen.

Perhatikan bahwa untuk dua deret yang konvergen, limit dari bentuk deret tersebut adalah nol. Ini akan selalu benar untuk deret tak hingga yang konvergen. Kita nyatakan dalam teorema berikut:

Berhati-hatilah untuk tidak menyalahgunakan teorema ini! Teorema ini memberi kita persyaratan untuk konvergensi tetapi bukan jaminan konvergensi. Dengan kata lain, kebalikan dari teorema ini TIDAK BENAR. Jika \( \lim_\limits{n→∞} a_n = 0 \), deret tersebut mungkin saja divergen. Perhatikan dua contoh deret tak hingga berikut

Dalam dua kasus, bentuk deret adalah nol dalam limitnya ketika n menuju tak hingga. Namun hanya deret kedua yang konvergen sedangkan deret yang pertama adalah divergen.

Sekali lagi bahwa seperti yang dinyatakan di atas, teorema ini memberikan persyaratan untuk kekonvergenan. Agar deret tak hingga konvergen, maka bentuk deret tersebut harusnya menuju nol dalam limitnya. Jika bentuk deret tak menuju nol dalam limitnya, maka tidak ada cara untuk menentukan apakah deret tersebut konvergen.

Ini membawa kita pada salah satu dari beberapa uji kekonvergenan deret tak hingga yang akan kita bahas yakni uji divergen. Kita tuliskan dalam artikel terpisah untuk uji divergen ini. Klik link berikut untuk melanjutkan: Uji Divergen

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.