JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika » Uji Kekonvergenan Deret Tak Hingga

Contoh Soal dan Pembahasan Uji Akar (Root Test)


Oleh Tju Ji Long · Statistician & Content Writer

15 Mei 2022

Salah satu uji untuk menentukan konvergensi deret tak hingga dikenal dengan Uji Akar (Root Test). Perhatikan definisi dari Uji Akar berikut ini.

Uji Akar (Root Test)

Misalkan kita mempunyai deret \(∑ a_n\) dan anggap bahwa

\begin{aligned} L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} &= \lim_{n \to \infty} \ \left| a_n \right|^{\frac{1}{n}} \end{aligned}

Maka kita peroleh berikut ini:

  1. Jika \(L < 1\), deret tersebut konvergen multak dan karena itu konvergen.
  2. Jika \(L > 1\), deret tersebut divergen
  3. Jika \(L = 1\), deret tersebut bisa saja divergen, konvergen bersyarat, atau konvergen mutlak. Dengan kata lain, kita tidak bisa menarik kesimpulan mengenai kekonvergenan deret tersebut.

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut ini diberikan beberapa contoh soal dan pembahasan terkait uji akar untuk menentukan konvergensi deret tak hingga.

Contoh 1:

Gunakan Uji Akar (Root Test) untuk menentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4^n} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »
\begin{aligned} L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} &= \lim_{n \to \infty} \ \left|\frac{1}{4^n}\right|^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{1}{4} \\[8pt] &= \frac{1}{4} \end{aligned}

Karena \(L = ¼ < 1\), maka menurut Uji Akar, deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4^n} \) konvergen.

Contoh 2:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=3}^\infty \ \frac{(-12)^n}{n} \) konvergen atau divergen menggunakan Uji Akar.

Pembahasan »
\begin{aligned} L &= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \ \left| a_n \right|^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \left| \frac{(-12)^n}{n} \right|^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \ \frac{12}{n^{\frac{1}{n}}} \\[8pt] &= \frac{12}{1} = 12 \end{aligned}

Karena \( L = 12 > 1 \), maka menurut Uji Akar, deret \( \displaystyle \sum_{n=3}^\infty \ \frac{(-12)^n}{n} \) divergen.

Contoh 3:

Dengan menggunakan Uji Akar, tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »
\begin{aligned} L &= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \ \left| a_n \right|^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \left| \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \right|^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \\[8pt] &= 1 + \frac{1}{\infty} = 1 + 0 = 1 \end{aligned}

Karena \(L = 1\), maka menurut Uji Akar, tidak tersedia informasi mengenai kekonvergenan deret. Dengan kata lain, kita tidak bisa menyimpulkan apakah deret tersebut adalah konvergen atau divergen.

Contoh 4:

Dengan menggunakan Uji Akar, tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^2} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »
\begin{aligned} L &= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \ \left| a_n \right|^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \left| \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^2} \right|^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e \end{aligned}

Karena \(L = e > 1\), maka menurut Uji Akar, deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^2} \) divergen.

Contoh 5:

Dengan menggunakan Uji Akar, tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n^2} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »
\begin{aligned} L &= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \ \left| a_n \right|^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \left| \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n^2} \right|^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \ \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \\[8pt] &= \frac{1}{ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \ \left( \frac{n+1}{n} \right)^n } = \frac{1}{ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n } \\[8pt] &= \frac{1}{e} \end{aligned}

Karena \(L = 1/e < 1\), maka menurut Uji Akar, deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n^2} \) konvergen.

Contoh 6:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{5^n}{n^n} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »
\begin{aligned} L &= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \ \left| a_n \right|^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \left| \frac{5^n}{n^n} \right|^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \ \left| \left( \frac{5}{n} \right)^n \right|^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{5}{n} = 0 \end{aligned}

Karena \(L = 0 < 1\), maka menurut Uji Akar, deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \frac{5^n}{n^n} \) konvergen.

Contoh 7:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \left( \frac{3+5n}{2+3n} \right)^n \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »
\begin{aligned} L &= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \ \left| a_n \right|^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \left| \left( \frac{3+5n}{2+3n} \right)^n \right|^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{3+5n}{2+3n} \\[8pt] &= \frac{5}{3} \end{aligned}

Karena \(L = 5/3 > 1\), maka menurut Uji Akar, deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \left( \frac{3+5n}{2+3n} \right)^n \) divergen.

Contoh 8:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \left( \frac{5n-3n^3}{7n^3+2} \right)^n \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »
\begin{aligned} L &= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \ \left| a_n \right|^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \left| \left( \frac{5n-3n^3}{7n^3+2} \right)^n \right|^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \left| \frac{5n-3n^3}{7n^3+2} \right| \\[8pt] &= \left| \frac{-3}{7} \right| = \frac{3}{7} \end{aligned}

Karena \( L = \frac{3}{7} < 1 \), maka menurut Uji Akar, deret \( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \left( \frac{5n-3n^3}{7n^3+2} \right)^n \) konvergen.

Contoh 9:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{(-1)^n \ 3^{n+2}}{(n-1)^n} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »
\begin{aligned} L &= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \ \left| a_n \right|^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \left| \frac{(-1)^n \ 3^{n+2}}{(n-1)^n} \right|^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \ \left[ \frac{3^2 \cdot 3^n}{(n-1)^n} \right]^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \left[ 3^2 \cdot \frac{3^n}{(n-1)^n} \right]^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \ \left[ 3^2 \cdot \left( \frac{3}{n-1} \right)^n \right]^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ 3^{\frac{2}{n}} \cdot \lim_{n \to \infty} \ \left( \frac{3}{n-1} \right) \\[8pt] &= 3^0 \cdot \frac{3}{\infty} = 1 \cdot 0 = 0 \end{aligned}

Karena \(L = 0 < 1\), maka menurut Uji Akar, deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{(-1)^n \ 3^{n+2}}{(n-1)^n} \) konvergen.

Contoh 10:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{n^n}{3^{1+2n}} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »
\begin{aligned} L &= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \ \left| a_n \right|^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \left| \frac{n^n}{3^{1+2n}} \right|^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \ \frac{n}{3^{\frac{1}{n}+2}} \\[8pt] &= \frac{\infty}{3^2} = \infty \end{aligned}

Karena \( L = \infty > 1 \), maka menurut Uji Akar, deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{n^n}{3^{1+2n}}\) divergen.

Contoh 11:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{2^{1+4n}} \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »
\begin{aligned} L &= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \ \left| a_n \right|^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \left| \frac{n^n}{2^{1+4n}} \right|^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \ \frac{n}{2^{\frac{1}{n}+4}} \\[8pt] &= \frac{\infty}{2^4} = \infty \end{aligned}

Karena \( L = \infty > 1 \), maka menurut Uji Akar, deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{2^{1+4n}} \) divergen.

Contoh 12:

Tentukan apakah deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \left[ \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n} \right]^n \) konvergen atau divergen.

Pembahasan »
\begin{aligned} L &= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \ \left| a_n \right|^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \left| \left( \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n} \right)^n \right|^{\frac{1}{n}} \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \left( \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n} \right) \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{1}{n^2} \cdot \lim_{n \to \infty} \ \frac{1}{n} \\[8pt] &= 0 + 0 = 0 \end{aligned}

Karena \(L = 0 < 1\), maka menurut Uji Akar, deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \left[ \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n} \right]^n \) konvergen.