JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Kalkulus II » Uji Kekonvergenan Deret Tak Hingga › Tips Menentukan Uji Konvergensi Deret Tak Hinga

Tips Menentukan Uji Konvergensi Deret Tak Hinga

Pada artikel ini kita akan mempelajari beberapa tips/strategi dalam memilih uji konvergensi yang sesuai untuk menentukan apakah suatu deret tak hingga konvergen atau divergen.


Oleh Tju Ji Long · Statistician & Content Writer

19 Mei 2022

Sebagaimana telah kita pelajari bahwa terdapat cukup banyak uji untuk menentukan konvergensi suatu deret tak hingga. Ada 10 uji yang telah kita pelajari sejauh ini, yakni:

  1. Uji Divergen (Divergent Test)
  2. Uji Deret-P (P-Series Test)
  3. Uji Integral (Integral Test)
  4. Uji Banding (Comparison Test)
  5. Uji Banding Limit (Limit Comparison Test)
  6. Uji Rasio (Ratio Test)
  7. Uji Akar (Root Test)
  8. Uji Deret Ganti Tanda (Alternating Series Test)
  9. Uji Konvergen Mutlak (Absolutely Convergent Test)
  10. Uji Konvergen Bersyarat (Conditionally Convergent Test)

Pertanyaannya sekarang adalah bagaimana caranya kita menentukan atau memilih uji untuk menentukan konvergensi deret tak hingga tersebut? Sebenarnya, tidak ada standar baku yang bisa kita terapkan. Namun, ada beberapa patokan yang bisa kita gunakan. .

Dengan mengetahui kriteria atau potakan ini akan sangat membantu menghemat waktu kita dalam menentukan apakah suatu deret konvergen atau divergen, daripada hanya sekadar mencoba-coba beberapa uji konvergensi yang tersedia

Berikut adalah tips/strategi atau langkah-langkah dalam memilih uji konvergensi untuk menentukan apakah suatu deret konvergen atau divergen.

  1. Jika bentuk deret tak hingganya berupa \( ∑ 1/n^p\), deret ini disebut deret-p, yang mana akan konvergen jika \(p > 1\) dan divergen jika \(p ≤ 1\).
  2. Jika deretnya mempunyai bentuk \(∑ ar^{n-1}\) atau \(∑ar^n\), ini merupakan deret geometri, yang mana akan konvergen jika \(|r| < 1\) dan divergen jika \(|r| ≥ 1\). Acap kali manipulasi aljabar mungkin diperlukan untuk mengubah deret awal ke dalam bentuk ini.
  3. Jika deret mempunyai bentuk yang mirip dengan deret-p atau deret geometri, maka pertimbangkan untuk menggunakan uji banding atau uji banding limit.
  4. Jika kita bisa melihat secara sekilas bahwa \( \displaystyle \lim_{n\to \infty} \ a_n \geq 0 \), maka gunakan Uji Divergen.
  5. Jika deretnya dalam bentuk \(∑ (-1)^{n-1} \ a_n\) atau \(∑ (-1)^n \ a_n\), maka besar kemungkinan kita akan memakai Uji Deret Ganti Tanda.
  6. Deret yang melibatkan faktorial (!) atau bentuk perkalian lainnya termasuk konstanta yang dipangkatkan \(n\) (misalkan \(2^n\) dan sebagainya) sering kali lebih mudah diuji menggunakan Uji Rasio atau terkadang bisa juga digunakan Uji Akar.
  7. Jika \(a_n=f(n)\) di mana \(\displaystyle \int_1^∞ f(x) \ dx\) dapat dihitung dengan mudah, maka gunakanlah Uji Integral (dengan mengasumsikan bahwa syarat-syarat dari uji ini terpenuhi).
Contoh 1:

Perhatikan deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{n-1}{2n+1} \). Uji konvergensi yang manakah yang akan digunakan? Sesuai tips poin 4 di atas, karena kita bisa melihat secara sekilas bahwa \( \displaystyle \lim_{n\to\infty} \ a_n = \frac{1}{2} \neq 0 \) atau \( \displaystyle a_n \to \frac{1}{2}\) ketika \(n \to ∞\), maka kita gunakan Uji Divergen.

Menurut Uji Divergen, \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{n-1}{2n+1} \) merupakan deret tak hingga yang divergen.

Contoh 2:

Untuk deret tak hingga \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{\sqrt{n^3+1}}{3n^3+4n^2+2} \), uji apakah yang akan Anda gunakan untuk menentukan kekonvergenan deret tersebut?

Perhatikan bahwa karena \(a_n\) merupakan fungsi aljabar dari \(n\), kita bandingkan deret yang diberikan dengan sebuah deret-p. Deret pembanding untuk Uji Banding Limit adalah \(∑ b_n\), di mana:

\begin{aligned} b_n = \frac{\sqrt{n^3}}{3n^3} = \frac{n^{3/2}}{3n^3} = \frac{1}{3n^{3/2}} \end{aligned}

Menurut Uji Banding Limit, deret \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{\sqrt{n^3+1}}{3n^3+4n^2+2} \) adalah konvergen.

Contoh 3:

Tentukan uji konvergensi untuk menentukan kekonvergenan deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{2^n}{n!}\).

Karena deret ini melibatkan \(n\) faktorial \((n!)\), kita gunakan Uji Rasio.

Contoh 4:

Tentukan uji konvergensi untuk menentukan kekonvergenan deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{2+3^n} \).

Karena deret ini mirip dengan deret geometri \(∑ 1/3^n\), kita gunakan Uji Banding.

Contoh 5:

Untuk deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ (-1)^n \frac{n^3}{n^4+1} \), karena merupakan deret ganti tanda, maka besar kemungkinan kita akan menggunakan Uji Deret Ganti Tanda untuk menentukan kekonvergenan deret ini.

Contoh 6:

Perhatikan deret \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ ne^{-n^2}\). Karena integral dari \( \displaystyle \int_1^\infty xe^{-x^2} \ dx \) dapat dengan mudah dihitung, kita bisa gunakan Uji Integral.

Artikel Terkait

Everything has beauty, but not everyone can see.