Contoh 1:

Buktikan bahwa deret harmonik yang ganti tanda

adalah konvergen. Berapa sukukah harus kita ambil agar selisih antara jumlah deret \(S\) dan jumlah parsial \(S_n\) tidak melebihi \(0,01\).

Penyelesaian:

Deret harmonik yang diketahui memenuhi syarat-syarat Teorema A. Jadi deret tersebut konvergen. Kita menginginkan agar \(|S-Sn|≤0,01\). Ini dapat terpenuhi apabila \(a_{n+1}≤0,01\). Karena \(a_{n+1}=1/(n+1)\), maka haruslah \(1/(n+1)≤0,01\). Ketaksamaan ini dipenuhi apabila \(n≥99\). Jadi kita harus mengambil 99 suku untuk menghampiri \(S\) dengan ketelitian yang diinginkan. Dengan uraian tersebut dapat dilihat betapa lambatnya kekonvergenan deret tersebut.

Contoh 3:

Buktikan bahwa \(\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} (-1)^{n+1} \frac{n^2}{2^n} \) konvergen.

Penyelesaian:

Untuk dapat menggambarkan deret itu kita menuliskan beberapa suku permulaan:

Deret itu berganti tanda dan \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \frac{n^2}{2^n} = 0 \) (Kaidah I’Hopital), tetapi suku-suku deret tidak menurun dari permulaan. Suku-suku mulai menurun pada suku ketiga; ini sudah cukup, karena kekonvergenan atau kedivergenan deret tidak dipengaruhi oleh suku-suku permulaan. Untuk membuktikan bahwa barisan \(\{n^2/2^n\}\) menurun mulai dari suku ketiga, perhatikan fungsinya

Perhatikan bahwa jika \(x≥3\), turunan

Jadi, \(f\) menurun pada \([3,∞)\), dan demikian pula \(\{n^2/2^n\}\) untuk \(n≥3\).