JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus II » Uji Kekonvergenan Deret Tak Hingga › Uji Deret Ganti Tanda
Deret

Uji Deret Ganti Tanda

Deret ganti-tanda adalah deret yang suku-sukunya berganti-ganti tandanya (alternating series). Pada artikel ini, kita akan menentukan kekonvergenan deret ganti-tanda.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Kita telah membahas deret-deret yang suku-sukunya tak negatif dalam beberapa artikel sebelumnya. Sekarang persyaratan tak negatif ini kita hapus, sehingga dalam suatu deret suku-sukunya dapat negatif. Khususnya kita memperlihatkan deret-deret yang suku-sukunya berganti-ganti tandanya (alternating series) – yakni, deret yang bentuknya

Gambar

dengan \(a_n>0\) untuk semua \(n\). Contoh penting adalah deret harmonik ganti tanda

Gambar

Kita tahu bahwa deret harmonik itu divergen; tapi kita akan melihat dalam waktu singkat bahwa deret harmonik ganti tanda itu konvergen.

Teorema A: Uji Deret Ganti-Tanda.

Andaikan

Gambar

suatu deret ganti-tanda dengan \(a_n>a_{n+1}>0\). Apabila \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_n = 0\), maka deret konvergen. Selain itu, kesalahan (error) yang dibuat apabila jumlah \(S\) diaproksimasi dengan jumlah \(n\) suku pertama \(S_n\), tidak akan melebihi \(a_{n+1}\).

Contoh 1:

Buktikan bahwa deret harmonik yang ganti tanda

Gambar

adalah konvergen. Berapa sukukah harus kita ambil agar selisih antara jumlah deret \(S\) dan jumlah parsial \(S_n\) tidak melebihi \(0,01\).

Penyelesaian:

Deret harmonik yang diketahui memenuhi syarat-syarat Teorema A. Jadi deret tersebut konvergen. Kita menginginkan agar \(|S-Sn|≤0,01\). Ini dapat terpenuhi apabila \(a_{n+1}≤0,01\). Karena \(a_{n+1}=1/(n+1)\), maka haruslah \(1/(n+1)≤0,01\). Ketaksamaan ini dipenuhi apabila \(n≥99\). Jadi kita harus mengambil 99 suku untuk menghampiri \(S\) dengan ketelitian yang diinginkan. Dengan uraian tersebut dapat dilihat betapa lambatnya kekonvergenan deret tersebut.

Contoh 2:

Buktikan bahwa deret

Gambar

adalah konvergen. Hitunglah \(S_5\) dan perkirakanlah kesalahan (galat) yang kita buat apabila jumlah deret itu kita hampiri dengan jumlah parsial tersebut.

Penyelesaian:

Persyaratan Teorema A dipenuhi oleh deret yang diketahui, jadi deret konvergen.

Gambar

Contoh 3:

Buktikan bahwa \(\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} (-1)^{n+1} \frac{n^2}{2^n} \) konvergen.

Penyelesaian:

Untuk dapat menggambarkan deret itu kita menuliskan beberapa suku permulaan:

Gambar

Deret itu berganti tanda dan \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \frac{n^2}{2^n} = 0 \) (Kaidah I’Hopital), tetapi suku-suku deret tidak menurun dari permulaan. Suku-suku mulai menurun pada suku ketiga; ini sudah cukup, karena kekonvergenan atau kedivergenan deret tidak dipengaruhi oleh suku-suku permulaan. Untuk membuktikan bahwa barisan \(\{n^2/2^n\}\) menurun mulai dari suku ketiga, perhatikan fungsinya

Gambar

Perhatikan bahwa jika \(x≥3\), turunan

Gambar

Jadi, \(f\) menurun pada \([3,∞)\), dan demikian pula \(\{n^2/2^n\}\) untuk \(n≥3\).

Sumber:

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

Being deeply loved by someone gives you strength, while loving someone deeply gives you courage.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: