JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus II » Turunan Fungsi Peubah Banyak › Turunan Parsial Fungsi Peubah Banyak
Turunan Fungsi Peubah Banyak

Turunan Parsial Fungsi Peubah Banyak

Turunan parsial sebuah fungsi peubah banyak adalah turunannya terhadap salah satu peubah (variabel) dengan peubah lainnya dipertahankan konstan.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Turunan parsial sebuah fungsi peubah banyak adalah turunannya terhadap salah satu peubah (variabel) dengan peubah lainnya dipertahankan konstan.

Sebagai contoh, misalkan \(f\) adalah suatu fungsi dua peubah \(x\) dan \(y\). Jika \(y\) ditahan agar konstan, misalnya \(y=y_0\), maka \(f(x,y_0)\) menjadi fungsi satu peubah \(x\). Turunannya di \(x=x_0\) disebut turunan parsial \(f\) terhadap \(x\) di \((x_0,y_0)\) dan dinyatakan sebagai \(f_x(x_0,y_0)\).

Jadi, kita dapat menuliskan sebagai berikut.

Gambar

Demikian pula, turunan parsial \(f\) terhadap \(y\) di \((x_0,y_0)\) dinyatakan oleh \(f_y (x_0,y_0)\) dan dituliskan sebagai

Gambar

Menghitung \(f_x(x_0,y_0)\) dan \(f_y(x_0,y_0)\) secara langsung dari definisi di atas tidak hanya memakan waktu, tetapi juga membosankan. Oleh karena itu, kita tidak akan banyak menggunakan rumus pada definisi di atas, melainkan kita akan mencari \(f_x(x,y)\) dan \(f_y(x,y)\) dengan menggunakan aturan baku untuk turunan; kemudian kita mensubstitusikan \(x=x_0\) dan \(y=y_0\).

Contoh 1:

Carilah \(f_x(1,2)\) dan \(f_y(1,2)\) jika \(f(x,y)=x^2 y+3y^3\).

Penyelesaian:

Untuk mencari \(f_x(x,y)\) kita anggap \(y\) sebagai konstanta dan kita diferensialkan fungsi ini terhadap x. Kita peroleh

Gambar

Jadi,

Gambar

Demikian pula,

Gambar

Sehingga,

Gambar

Jika \(z=f(x,y)\), kita gunakan cara penulisan lain untuk menyatakan turunan parsial, yakni

Gambar

Lambang \(∂\) adalah lambang khas dalam matematika dan disebut tanda turunan parsial.

Contoh 2:

Jika \(z=x^2 \sin{⁡(xy^2)}\), carilah \(∂z/∂x\) dan \(∂z/∂y\).

Penyelesaian:

Gambar

Untuk mendapatkan gambaran geometris terkait turunan parsial khususnya untuk fungsi dua peubah, amatilah permukaan yang persamaannya \(z=f(x,y)\) pada Gambar 1 di bawah. Bidang \(y=y_0\) memotong permukaan ini pada kurva bidang QPR (Gambar 1 sebelah kiri) dan nilai dari \(f_x(x_0,y_0)\) adalah kemiringan garis singgung pada kurva ini di \(P(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\)).

Serupa dengan itu, bidang \(x=x_0\) memotong permukaan pada kurva bidang LPM (Gambar 1 sebelah kanan) dan \(f_y(x_0,y_0)\) adalah kemiringan garis singgung pada lengkungan ini di titik P.

Gambar

Gambar 1.

Turunan Parsial Tingkat Tnggi

Secara umum, karena turunan parsial suatu \(x\) dan \(y\) adalah fungsi lain dari dua peubah yang sama ini, turunan tersebut dapat diturunkan secara parsial terhadap \(x\) atau \(y\) untuk memperoleh empat buah turunan parsial kedua fungsi \(f\):

Gambar

Contoh 3:

Cari keempat turunan parsial kedua dari

Gambar

Penyelesaian:

Gambar

Perhatikan bahwa \(f_{xy}=f_{yx}\).

Turunan parsial tingkat tiga dan lebih tinggi didefinisikan dengan cara yang sama dan cara penulisannya pun serupa. Jadi, jika \(f\) suatu fungsi dua peubah \(x\) dan \(y\), turunan parsial-ketiga \(f\) yang diperoleh dengan menurunkan \(f\) secara parsial, pertama kali terhadap \(x\) dan kemudian dua kali terhadap \(y\), akan ditunjukkan oleh

Gambar

Secara keseluruhan akan terdapat delapan buah turunan parsial ketiga.

Peubah lebih dari dua

Andaikan \(f\) suatu fungsi tiga peubah \(x, \ y\), dan \(z\). Turunan parsial \(f\) terhadap \(x\) di \((x,y,z)\) dinyatakan oleh \(f_x (x,y,z)\) atau \(∂f(x,y,z)/∂x\) dan didefinisikan oleh

Gambar

Jadi \(f_x (x,y,z)\) boleh diperoleh dengan memperlakukan \(y\) dan \(z\) sebagai konstanta dan menurunakan terhadap x. Turunan parsial terhadap \(y\) dan \(z\) didefinisikan dengan cara yang serupa.

Contoh 4:

Jika \(f(x,y,z)=xy+2yz+3zx\), carilah \(f_x,f_y,\) dan \(f_z\).

Penyelesaian:

Untuk memperoleh \(f_x\), kita pandang \(y\) dan \(z\) sebagai konstanta dan turunkan terhadap peubah \(x\). Jadi,

Gambar

Untuk mencari \(f_y\), kita anggap \(x\) dan \(z\) sebagai konstanta dan turunkan terhadap peubah \(y\);

Gambar

Serupa halnya,

Gambar

Contoh 5:

Jika \(T(w,x,y,z)=ze^{w^2+x^2+y^2}\), carilah semua turunan parsial pertama dan \( \displaystyle{\frac{∂^2 T}{∂w∂x}, \, \frac{∂^2 T}{∂x∂w}} ,\) dan \( \displaystyle{\frac{∂^2 T}{∂z^2}} \).

Penyelesaian:

Empat turunan parsial adalah

Gambar

Turunan parsial yang lain adalah

Gambar
Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

The real opportunity for success lies within the person and not in the job.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: