www.jagostat.com
www.jagostat.com
Website Belajar Matematika & Statistika
Website Belajar Matematika & Statistika
Cari artikel...
KALKULUS II
Kalkulus II
Kalkulus II » Uji Kekonvergenan Deret Tak Hingga › Uji Konvergen Mutlak - Materi, Contoh Soal dan Pembahasan
Deret
Uji Konvergen Mutlak - Materi, Contoh Soal dan Pembahasan
Sebuah deret \(∑ u_n\) dikatakan konvergen mutlak (absolute convergent) jika \(∑ |u_n|\) adalah konvergen. Terdapat dua teorema penting terkait uji konvergen mutlak.
Sebuah deret \(∑u_n\) dikatakan konvergen mutlak (absolute convergent) jika \(∑|u_n|\) adalah konvergen. Terdapat dua teorema yang penting terkait uji konvergen mutlak. Kita berikan berikut ini.
Teorema A: Uji Kekonvergenan Mutlak.
Apabila \(∑|u_n|\) konvergen, maka \(∑u_n\) konvergen.
Teorema B: Uji Hasil Bagi Mutlak.
Andaikan \(∑u_n\) sebuah deret yang suku-sukunya tak nol. Andaikan \[ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \frac{|u_{n+1}|}{|u_n|} = \rho \]
- Jika \(ρ<1\), deret konvergen mutlak (jadi konvergen).
- Jika \(ρ>1\), deret divergen
- Jika \(ρ=1\), pengujian ini tidak dapat memberikan kepastian.
Contoh 1:
Buktikan bahwa \(\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} (-1)^{n+1} \frac{3^n}{n!} \) konvergen mutlak.
Penyelesaian:
Karena
maka menurut Uji Hasilbagi Mutlak, deret ini konvergen mutlak (jadi konvergen juga).
Contoh 2:
Selidiki apakah deret \(\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{\cos{(n!)}}{n^2} \) konvergen atau divergen.
Penyelesaian:
Apabila kita tulis seratus suku yang pertama, akan tampak bahwa tanda suku deret ini berubah-ubah dengan cara yang agak tidak teratur. Sesungguhnya deret tersebut sukar untuk diselidiki secara langsung. Akan tetapi,
\[ \left|\frac{\cos{(n!)}}{n^2}\right| \leq \frac{1}{n^2} \]
Jadi, dengan menggunakan Uji Banding Biasa deret itu konvergen mutlak, sehingga menurut Teorema A, deret ini konvergen juga.
Sumber:
Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.
Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.
Artikel Terkait
There are two ways of spreading light: to be the candle or the mirror that reflects it.
Edith Wharton