JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus II » Transformasi Koordinat › Transformasi Koordinat
Transformasi Koordinat

Transformasi Koordinat

Ada banyak manfaat melakukan transformasi koordinat, salah satunya adalah untuk mempermudah penghitungan integral lipat.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Pada artikel ini kita membahas bagaimana melakukan transformasi dari suatu koordinat ke koordinat lain. Ada banyak manfaat melakukan transformasi koordinat, salah satunya adalah untuk mempermudah penghitungan integral lipat.

Akan tetapi, di sini kita akan fokus pada transformasi koordinat saja, sementara penggunaan transformasi koordinat dalam menyelesaikan integral lipat akan diberikan pada artikel berikutnya.

Sekarang tinjau suatu fungsi T yang diperlihatkan pada Gambar 1, yang mempunyai domain R (daerah pada bidang xy) dan mempunyai range S (daerah pada bidang uv), sehingga T(x,y) = (u,v).

Gambar

Gambar 1. Transformasi koordinat dari bidang xy ke bidang uv

Keterangan: T → transformasi koordinat dari bidang xy ke bidang uv.

Perhatikan bahwa transformasi di atas mengubah suatu koordinat dalam xy menjadi suatu koordinat lain dalam uv di mana u dan v adalah fungsi dari x dan y.

Contoh 1:

Tentukan daerah baru yang kita peroleh dengan menerapkan transformasi x = u/2, y = 3v terhadap daerah R yang berupa elips \(x^2+y^2/36=1\).

Pembahasan:

Masukkan transformasi ke dalam persamaan untuk elips. Kita peroleh berikut ini.

Gambar

Perhatikan bahwa persamaan \(u^2+v^2=4\) merupakan persamaan lingkaran dengan jari-jari 2. Jadi, transformasi ini mengubah daerah berupa elips menjadi sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari 2.

Contoh 2:

Tentukan daerah baru yang kita peroleh dengan menerapkan transformasi x = ½ (u + v), y = ½ (u-v) terhadap daerah R yang berupa daerah yang dibatasi oleh y = -x + 4, y = x+1, dan y = x/3 – 4/3.

Pembahasan:

Sama seperti pada Contoh 1, kita perlu memasukkan transformasi ke dalam persamaan. Akan tetapi, dalam kasus ini kita perlu melakukannya tiga kali, yakni sekali untuk masing-masing persamaan. Sebelum kita melakukan itu, kita lukiskan grafik daerah tersebut seperti tampak pada gambar berikut.

Gambar

Tampak pada gambar di atas bahwa daerah R adalah segitiga. Sekarang, mari kita lakukan transformasi untuk tiap-tiap titik sudut segitiga tersebut.

Untuk y = - x + 4, dengan memasukkan transformasi diperoleh

Gambar

Perhatikan bahwa transformasi ini menghasilkan persamaan yang jauh lebih sederhana.

Untuk y = x + 1, maka

Gambar

Sekali lagi, persamaan yang lebih baik diperoleh di sini.

Terakhir, untuk y = x/3 – 4/3. Kita peroleh

Gambar

Kita juga peroleh persamaan yang lebih baik di sini, meskipun tidak sebagus pada dua persamaan pertama. Daerah baru yang kita peroleh dari hasil transformasi ini ditampilkan pada gambar berikut

Gambar

Kita masih peroleh daerah berupa segitiga, namun sebuah segitiga yang jauh lebih baik.

Artikel Terkait

There is only one way to avoid criticism: do nothing, say nothing, and be nothing.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: