Statistika Matematika I   »   Distribusi Sampling   ›  Teorema Limit Pusat

Peubah Acak

Teorema Limit Pusat

Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem) menyatakan bahwa bentuk distribusi sampling dari rata-rata sampel selalu cenderung mendekati distribusi normal.

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Terdapat sebuah teorema penting terkait distribusi sampling yang dikenal dengan Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem). Teorema ini menyatakan bahwa bentuk distribusi sampling dari rata-rata sampel selalu cenderung mendekati distribusi normal. Kita nyatakan dalam teorema berikut.

Teorema Limit Pusat

Jika sampel acak berukuran \(n\) ditarik dari populasi dengan rata-rata \(μ\) dan varians \(σ^2\), maka rata-rata sampel \(\overline{X}\) akan mempunyai distribusi yang mendekati distribusi normal dengan rata-rata \(μ\) dan varians \(σ^2/n\). Jadi, distribusi fungsi

akan mendekati (mengaproksimasi) normal standar (approximately a standard normal). Aproksimasi akan semakin tepat seiring dengan meningkatnya ukuran sampel.

Untuk mendapatkan gambaran mengenai teorema limit pusat, perhatikanlah Gambar 1 berikut. Gambar 1 menunjukkan tiga populasi berbeda yang mana dari populasi tersebut diambil sampel acak berukuran n = 2, 5, 10 dan 25. Distribusi sampling dari rata-rata sampel juga ditunjukkan pada Gambar 1.

Gambar 1. Distribusi sampling dari rata-rata sampel

Perhatikan bahwa, saat sampel diambil dari populasi berdistribusi normal, distribusi sampling dari rata-rata sampel juga berdistribusi normal terlepas dari ukuran sampelnya (bahkan untuk sampel kecil). Untuk distribusi yang tidak simetris atau normal, distribusi sampling-nya adalah menceng (skewed) untuk sampel kecil, tetapi untuk n = 25, distribusi sampling-nya mendekati atau hampir simetris (normal).

Teorema Limit Pusat memberikan hasil yang sangat bermanfaat untuk inferensia statistik. Perhatikan bahwa \(\overline{X}\) adalah peubah acak dan mempunyai distribusi peluang. Untuk n besar, distribusi sampling dari \(\overline{X}\) akan mendekati distribusi normal. Lebih tepatnya, untuk n besar, kita bisa menemukan

di mana Z adalah peubah acak normal standar.

Contoh 1:

Misalkan sampel acak berukuran n = 25, 50, dan 100 diambil dari populasi yang mempunyai fungsi kepekatan peluang eksponensial dengan rata-rata 10 dan variansnya juga bernilai 10 \((σ=10)\). Temukan interval (a,b) untuk tiap n sehingga \(P(a ≤ \overline{X} ≤ b)=0.95\).

Pembahasan:

Dari Teorema Limit Pusat, kita tahu bahwa distribusi \( \overline{X} \) akan mendekati normal dengan rata-rata dan standar deviasi

yang nilainya ditunjukkan pada tabel berikut

Perhatikan bahwa \(P(a ≤ \overline{X} ≤ b)=0.95\) akan setara atau ekivalen dengan

Karena \(Z=\sqrt{n}(\overline{X}-μ)/σ\) akan mempunyai distribusi yang mendekati distribusi normal standar, maka pertidaksamaan ini bisa diaproksimasi dengan

Namun, kita tahu bahwa \(P(-1.96≤Z≤1.96)=0.95\). Dengan membandingkan kedua pernyataan ini, kita peroleh

Ini memberikan \(a=μ-1.96σ/\sqrt{n}\) dan \(b=μ+1.96σ/\sqrt{n}\). Tabel berikut memberikan interval untuk ukuran sampel yang berbeda. Perhatikan bahwa persebaran distribusi sampling menurun ketika ukuran sampel meningkat (Anda dapat mengamati Gambar 1 di atas sebagai contoh). Akibatnya, interval (a,b) menjadi lebih pendek ketika n meningkat.