Statistika Matematika I   »   Distribusi Sampling   ›  Distribusi Sampling - Distribusi Chi-square

Peubah Acak

Distribusi Sampling - Distribusi Chi-square

Distribusi Chi-Square banyak digunakan dalam bidang statistika. Beberapa manfaat dari distribusi Chi-square seperti menguji signifikansi antara frekuensi yang diamati dengan frekuensi teoritis dan menguji kebebasan antar faktor pada tabel kontingensi.

Gambar 1 di bawah adalah contoh kurva distribusi chi-square.

Gambar 1. Kurva chi-square

Ada pun fungsi kepadatan peluang dari distribusi chi-square dinyatakan dengan

Bukti:

MGF untuk distribusi gamma dengan parameter \(θ=2\) dan \(K=v/2\) adalah

Sedangkan MGF untuk distribusi chi-square dengan derajat v adalah

Jadi, karena MGF kedua distribusi sama maka terbukti bahwa distribusi gamma dengan parameter \(θ=2\) dan \(K=v/2\) sama dengan distribusi chi-square dengan derajat bebas \(v\).

Bukti:

Misalkan \( u^2 = z^2 (1-2t) \), maka \( u = z \sqrt{1-2t} \) dan \( du = \sqrt{1-2t} \ dz \). Dengan demikian, kita peroleh

Kita tahu bahwa MGF dari chi-square dengan derajat bebas \(v\) \((χ_{(v)}^2)\) yaitu \(\frac{1}{(1-2t)^{v/2}} \) . Sehingga saat derajat bebasnya \(v = 1\) \((χ_{(1)}^2)\), maka MGF nya menjadi \(\frac{1}{\sqrt{1-2t}} \), seperti hasil yang telah kita peroleh di atas.

Bukti:

Misalkan \( Z = \frac{\overline{X}-μ}{σ/\sqrt{n}} \). Telah kita buktikan bahwa \(Z \sim N(0,1)\) sehingga

Jadi, \( \frac{n(\overline{X}-μ)^2}{σ^2} \) berdistribusi chi-square dengan derajat bebas \(v = 1. \ \ (χ_{(1)}^2)\)

Bukti:

Misalkan \( Z = \frac{(X_i-μ)}{σ} \). Telah kita buktikan bahwa \(Z \sim N(0,1)\) dan \(Z^2 \sim χ_{(1)}^2\) dengan MGF \( \frac{1}{(1-2t)^{1/2}} \) .

Misalkan lagi \(Y=\sum_\limits{i=1}^n \frac{(X_i-μ)^2}{σ^2} \), sehingga \(Y=\sum_\limits{i=1}^n Z_i^2\) dan karena itu,

Bukti:

Catatan: