JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Statistika Matematika I » Distribusi Sampling › Distribusi Chi-square
Peubah Acak

Distribusi Chi-square

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Distribusi Chi-Square banyak digunakan dalam bidang statistika. Beberapa manfaat dari distribusi Chi-square seperti menguji signifikansi antara frekuensi yang diamati dengan frekuensi teoritis dan menguji kebebasan antar faktor pada tabel kontingensi.

Gambar 1 di bawah adalah contoh kurva distribusi chi-square.

Gambar

Gambar 1. Kurva chi-square

Ada pun fungsi kepadatan peluang dari distribusi chi-square dinyatakan dengan

Gambar

Teorema:

Jika variabel \(Y\) berdistribusi gamma dengan parameter \(θ=2\) dan \(K=v/2\) yakni \(Y \sim GAM(2,v/2)\), maka variabel \(Y\) juga mengikuti distribusi chi-square dengan derajat bebas \(v\) yaitu \( Y \sim χ^2(v) \).

Bukti:

MGF untuk distribusi gamma dengan parameter \(θ=2\) dan \(K=v/2\) adalah

Gambar

Sedangkan MGF untuk distribusi chi-square dengan derajat v adalah

Gambar

Jadi, karena MGF kedua distribusi sama maka terbukti bahwa distribusi gamma dengan parameter \(θ=2\) dan \(K=v/2\) sama dengan distribusi chi-square dengan derajat bebas \(v\).

Teorema:

Jika \(X \sim GAM(θ,K)\), maka

Gambar

Teorema:

Jika \(Y_i \sim χ^2 (v_i); \ i=1,…,n\) adalah variabel chi-square yang independen, maka

Gambar

Teorema:

Jika \(Z \sim N(0,1)\), maka \(Z^2 \sim χ_{(1)}^2\).

Bukti:

Gambar

Misalkan \( u^2 = z^2 (1-2t) \), maka \( u = z \sqrt{1-2t} \) dan \( du = \sqrt{1-2t} \ dz \). Dengan demikian, kita peroleh

Gambar

Kita tahu bahwa MGF dari chi-square dengan derajat bebas \(v\) \((χ_{(v)}^2)\) yaitu \(\frac{1}{(1-2t)^{v/2}} \) . Sehingga saat derajat bebasnya \(v = 1\) \((χ_{(1)}^2)\), maka MGF nya menjadi \(\frac{1}{\sqrt{1-2t}} \), seperti hasil yang telah kita peroleh di atas.

Teorema:

Jika \(X_1,…,X_n\) adalah sampel acak dari \(N(μ,σ^2)\), maka

Gambar

Bukti:

Gambar

Misalkan \( Z = \frac{\overline{X}-μ}{σ/\sqrt{n}} \). Telah kita buktikan bahwa \(Z \sim N(0,1)\) sehingga

Gambar

Jadi, \( \frac{n(\overline{X}-μ)^2}{σ^2} \) berdistribusi chi-square dengan derajat bebas \(v = 1. \ \ (χ_{(1)}^2)\)

Teorema:

Jika \(X_1,…,X_n\) adalah sampel acak dari \(N(μ,σ^2)\), maka

Gambar

Bukti:

Misalkan \( Z = \frac{(X_i-μ)}{σ} \). Telah kita buktikan bahwa \(Z \sim N(0,1)\) dan \(Z^2 \sim χ_{(1)}^2\) dengan MGF \( \frac{1}{(1-2t)^{1/2}} \) .

Misalkan lagi \(Y=\sum_\limits{i=1}^n \frac{(X_i-μ)^2}{σ^2} \), sehingga \(Y=\sum_\limits{i=1}^n Z_i^2\) dan karena itu,

Gambar

Teorema:

Jika \(X_1,…,X_n\) adalah sampel acak dari \(N(μ,σ^2)\), maka

Gambar

Bukti:

Gambar

Catatan:

Gambar
Artikel Terkait

You know you're in love when you can't fall asleep because reality is finally better than your dreams.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: