Contoh 1: Kasus Diskrit

Andaikan \(X\) adalah peubah acak diskrit dengan pdf

Jika \(Y = |X|\), maka tentukanlah pdf dari \(Y\).

Pembahasan:

Karena \(Y = |X|\) dan \(A = \{ x = -2, -1, 0, 1, 2 \}\), maka jelas \(B = \{0, 1, 2\}\). Sehingga

Cara lain untuk menyatakan ini adalah

Contoh 2: Kasus Kontinu

Misalkan \(X\) adalah peubah acak kontinu yang mengikuti distribusi uniform, yakni \(X \sim UNIF(-1,1)\) dengan pdf

Jika \(Y=X^2\), tentukanlah \(f_Y (y)\).

Pembahasan:

Perhatikan bahwa \(Y=X^2\) di mana \(A = (-1,1)\) merupakan fungsi yang tidak satu-satu sehingga tidak ada solusi unik untuk \(Y=X^2\). Namun, kita masih dapat memperoleh solusi unik dengan cara mempartisi \(A = (-1,1)\) menjadi \(A_1=(-1,0)\) dan \(A_2=(0,1)\). Sehingga, solusi uniknya adalah

Dengan demikian, pdf dari \(Y\) adalah

Contoh 3: Kasus Kontinu

Misalkan \(X\) adalah peubah acak kontinu dengan pdf

Jika \(Y=X^2\), tentukanlah pdf dari \(Y\).

Pembahasan:

Perhatikan bahwa untuk \(x < 0\) kita peroleh invers transformasi yakni \(x_1=g_1^{-1} (y)=-\sqrt{y}\) dan \(x_2=g_1^{-1} (y)=\sqrt{y}\) untuk \(x > 0\). Namun, untuk \(0 < y < 1\) terdapat dua titik dengan pdf tak nol, yakni \(x_1=-\sqrt{y}\) dan \(x_2=\sqrt{y}\); sedangkan untuk \(1 < y < 4\) terdapat hanya satu titik dengan pdf tak nol, yakni \(x_2=\sqrt{y}\). Dengan demikian pdf dari \(Y\) adalah