JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Statistika Matematika I » Distribusi Fungsi Peubah Acak › Teknik Transformasi Bukan Satu-Satu
Peubah Acak

Teknik Transformasi Bukan Satu-Satu

Teknik transformasi untuk mencari distribusi suatu peubah acak baru dapat dibagi jadi dua yakni transformasi satu-satu dan transformasi yang bukan satu-satu.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Misalkan \(X\) adalah peubah acak dengan pdf \(f_X (x)\). Jika \(Y=g(X)\) merupakan fungsi yang bukan satu-satu, maka tidak ada solusi unik untuk persamaan \(Y = g(X)\). Walaupun demikian, terdapat kemungkinan untuk mempartisi atau memecah \(A=\{x | f_X (x)>0\}\) ke dalam beberapa subset yang saling lepas (disjoint) yakni \(A_1,A_2,…\) sedemikian rupa sehingga \(Y=g(X)\) adalah fungsi satu-satu untuk masing-masing \(A_j\).

Dengan demikian, untuk masing-masing \(Y\) dalam range \(g(X)\), persamaan \(Y=g(X)\) memiliki solusi yang unik yaitu \(x_j=g_j^{-1} (y)\) untuk tiap himpunan \(A_j\). Dalam kasus diskrit, maka transformasi yang tidak satu-satu diberikan oleh

Gambar

dan untuk kasus kontinu, maka

Gambar

Contoh 1: Kasus Diskrit

Andaikan \(X\) adalah peubah acak diskrit dengan pdf

Gambar

Jika \(Y = |X|\), maka tentukanlah pdf dari \(Y\).

Pembahasan:

Karena \(Y = |X|\) dan \(A = \{ x = -2, -1, 0, 1, 2 \}\), maka jelas \(B = \{0, 1, 2\}\). Sehingga

Gambar

Cara lain untuk menyatakan ini adalah

Gambar

Contoh 2: Kasus Kontinu

Misalkan \(X\) adalah peubah acak kontinu yang mengikuti distribusi uniform, yakni \(X \sim UNIF(-1,1)\) dengan pdf

Gambar

Jika \(Y=X^2\), tentukanlah \(f_Y (y)\).

Pembahasan:

Perhatikan bahwa \(Y=X^2\) di mana \(A = (-1,1)\) merupakan fungsi yang tidak satu-satu sehingga tidak ada solusi unik untuk \(Y=X^2\). Namun, kita masih dapat memperoleh solusi unik dengan cara mempartisi \(A = (-1,1)\) menjadi \(A_1=(-1,0)\) dan \(A_2=(0,1)\). Sehingga, solusi uniknya adalah

Gambar

Dengan demikian, pdf dari \(Y\) adalah

Gambar

Hal yang perlu diperhatikan adalah jika batasan (limits) pada fungsi \(g(X)\) tidak sama terhadap tiap himpunan partisi \(A_j\). Kita nyatakan hal ini dalam contoh berikut.

Contoh 3: Kasus Kontinu

Misalkan \(X\) adalah peubah acak kontinu dengan pdf

Gambar

Jika \(Y=X^2\), tentukanlah pdf dari \(Y\).

Pembahasan:

Perhatikan bahwa untuk \(x < 0\) kita peroleh invers transformasi yakni \(x_1=g_1^{-1} (y)=-\sqrt{y}\) dan \(x_2=g_1^{-1} (y)=\sqrt{y}\) untuk \(x > 0\). Namun, untuk \(0 < y < 1\) terdapat dua titik dengan pdf tak nol, yakni \(x_1=-\sqrt{y}\) dan \(x_2=\sqrt{y}\); sedangkan untuk \(1 < y < 4\) terdapat hanya satu titik dengan pdf tak nol, yakni \(x_2=\sqrt{y}\). Dengan demikian pdf dari \(Y\) adalah

Gambar
Artikel Terkait

Di dalam membagi waktu kerja sebaiknya harus ada waktu yang terluang meskipun sedikit untuk sekedar beristirahat melepas lelah, karena hati atau jiwa juga merasa lelah dan bosan seperti halnya tubuh atau raga.