JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Statistika Matematika I » Distribusi Fungsi Peubah Acak › Teknik MGF
Peubah Acak

Teknik MGF

Sesuai dengan namanya, teknik MGF menggunakan fungsi pembangkit momen (moment generating function) untuk mencari distribusi suatu peubah acak baru.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Dua teknik untuk menemukan distribusi dari suatu peubah acak telah kita bahas pada artikel sebelumnya, yakni teknik cdf dan teknik transformasi. Sekarang, kita akan kaji teknik terakhir yaitu yang dikenal dengan teknik mgf.

Sesuai dengan namanya, teknik ini menggunakan fungsi pembangkit momen (moment generating function) untuk mencari distribusi suatu peubah acak.

Teorema:

Jika \(X\) adalah peubah acak dengan fungsi pembangkit momennya (MGF) adalah \(M_X (t)\) dan \(Y\) merupakan fungsi dari \(X\) yakni \(Y=u(x)\), maka fungsi pembangkit momen (MGF) dari peubah acak Y dapat dinyatakan dengan:

Gambar

Teorema:

Jika \(X_1,X_2,…,X_n\) adalah peubah acak independen dengan fungsi pembangkit momennya (MGF) adalah \(M_{X_i}(t)\), maka fungsi pembangkit momen (MGF) dari \(Y=\sum_\limits{i=1}^n X_i\) dapat ditentukan sebagai berikut:

Gambar

Bukti:

Karena

Gambar

maka,

Gambar

Teorema:

Jika \(X_1,X_2,…,X_n\) adalah sampel yang berasal dari populasi dengan fungsi kepekatan peluang (probability density function, pdf) dan fungsi pembangkit momen (moment generating function, MGF) yang sama yaitu \(f(x)\) dengan \(M_X (t)\), maka:

Gambar

Contoh 1:

Misal \(X_1,…,X_k\) adalah peubah acak independen yang berdistribusi binomial dengan parameter \(n_i\) dan \(p\), yakni \(X_i \sim BIN(n_i,p)\) dengan, \(M_X (t)=(pe^t+q)^n\) dan jika \(Y=∑_\limits{i=1}^k X_i\), maka

Gambar

Jadi, \(Y \sim BIN(n_1+⋯+n_k,p)\).

Contoh 2:

Misalkan \(X_1,X_2,…,X_n\) adalah peubah acak bebas yang berdistribusi Poisson, yaitu \(X_i \sim Poi(μ_i)\), dan misalkan \(Y=X_1+⋯+X_n\). MGF dari \(X_i\) adalah \(M_{X_i} (t)= \text{exp⁡} \left[μ_i (e^t-1)\right]\), dan akibatnya MGF dari \(Y\) adalah

Gambar

yang menunjukkan bahwa \(Y \sim POI(μ_1+⋯+μ_n)\).

Contoh 3:

Misalkan \(X_1,X_2,…,X_n\) adalah peubah acak bebas yang berdistribusi Gamma dengan masing-masing parameter \(K_1,K_2,…,K_n\) dan parameter yang sama yaitu \(θ\) \((X_i \sim GAM(θ,K_i))\) untuk \(i = 1, …,n\). MGF dari \(X_i\) adalah

Gambar

Jika \(Y=∑_\limits{i=1}^n X_i\), maka MGF dari \(Y\) adalah

Gambar

Dengan demikian, \(Y \sim GAM(θ,K_1+⋯+K_n)\).

Contoh 4:

Misalkan \(X_1,X_2,…,X_n\) adalah peubah acak bebas yang berdistribusi normal, \(X_i \sim N(μ_i,σ_i^2)\), dan misalkan \(Y=∑_\limits{i=1}^n X_i\). MGF dari \(X_i\) adalah

Gambar

Dan karena itu MGF dari \(Y\) adalah

Gambar

Dengan demikian,

Gambar
Artikel Terkait

Use your time wisely, because time will never get back.