www.jagostat.com
www.jagostat.com
Website Belajar Matematika & Statistika
Website Belajar Matematika & Statistika
Cari artikel...
STATISTIKA MATEMATIKA I
Statistika Matematika I
Peubah Acak dan Distribusi Peubah Acak
Distribusi Bersama Peubah Acak
Sifat Peubah Acak
Distribusi Fungsi Peubah Acak
Distribusi Sampling
Statistika Matematika I » Distribusi Bersama Peubah Acak › Independensi Peubah Acak - Rumus dan Contoh Soal
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552
Peubah Acak
Independensi Peubah Acak - Rumus dan Contoh Soal
Dua peubah acak \(X\) dan \(Y\) dikatakan independen secara statistik (statistically independent) jika dan hanya jika \( f(x,y)=f(x) \cdot f(y) \).
Misalkan \(X\) dan \(Y\) adalah dua peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, dengan distribusi peluang bersama (joint distribution) \(f(x,y)\) dan distribusi marginalnya masing-masing \(f(x)\) dan \(f(y)\), maka peubah-peubah acak \(X\) dan \(Y\) dikatakan independen secara statistik (statistically independent) jika dan hanya jika:
untuk semua \((x,y)\) di dalam range nya.
Contoh 1: Kasus Kontinu
Jika \(X\) dan \(Y\) adalah peubah-peubah acak kontinu dengan joint pdf
Tunjukkan bahwa \(X\) dan \(Y\) independen.
Pembahasan:
Ini adalah contoh yang sangat sederhana. Untuk menunjukkan bahwa \(X\) dan \(Y\) independen, kita perlu mencari pdf marginal dari \(X\) dan \(Y\) terlebih dahulu. Kita peroleh
Dengan demikian, karena
Maka, terbukti bahwa \(X\) dan \(Y\) adalah saling independen.
Contoh 2: Kasus Kontinu
Diketahui joint pdf sebagai berikut:
\begin{aligned} f(x,y) = \begin{cases} xy^2e^{-y}, &\quad 0\leq y \leq \infty; \ 0 < x < 1 \\[1em] 0, &\quad x,y \ \text{lainnya} \end{cases} \end{aligned}
Tentukan apakah \(X\) dan \(Y\) adalah saling bebas (independent).
Pembahasan:
Kita tentukan dulu distribusi marginal dari \(X\) dan \(Y\), yakni:
\begin{aligned} f(x) &= \int_y f(x,y) \ dy \\[8pt] &= \int_0^\infty xy^2e^{-y} \ dy = x \int_0^\infty y^2e^{-y} \ dy \\[8pt] &= x \left( \left[-y^2e^{-y} \right]_0^\infty + 2 \int_0^\infty ye^{-y} \ dy \right) \\[8pt] &= x ( 0 + 2 \cdot 1) = 2x; \quad 0 < x < 1 \\[8pt] f(y) &= \int_x f(x,y) \ dx \\[8pt] &= \int_0^1 xy^2e^{-y} \ dx = y^2e^{-y} \int_0^1 x \ dx \\[8pt] &= y^2e^{-y} \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1 = \frac{1}{2}y^2e^{-y}; \quad 0 < y <\infty \end{aligned}
Dengan demikian, kita peroleh berikut:
\begin{aligned} f(x,y) &= f(x) \cdot f(y) \\[8pt] xy^2e^{-y} &= 2x \cdot \frac{y^2}{2}e^{-y} \\[8pt] xy^2e^{-y} &= xy^2e^{-y}\end{aligned}
Perhatikan bahwa hasil perkalian \( f(x) \) dan \(f(y)\) sama dengan \( f(x,y) \) sehingga \(X\) dan \(Y\) adalah saling bebas.
Contoh 3: Kasus Kontinu
Diketahui peubah acak \(X_1\) dan \(X_2\) adalah saling bebas dan memiliki distribusi yang identik (independent and identically distributed) dengan fungsi kepekatan peluang (pdf) sebagai berikut:
\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} \displaystyle 1-\frac{x}{2}, &\quad 0\leq x \leq 2 \\[1em] 0, &\quad x \ \text{lainnya} \end{cases} \end{aligned}
Tentukanlah pdf bersama (joint pdf) untuk \( f(x_1,x_2) \).
Pembahasan:
Karena \(X_1\) dan \(X_2\) saling bebas, maka sesuai definisi, kita peroleh berikut:
\begin{aligned} f(x_1,x_2) &= f(x_1) \cdot f(x_2) \\[8pt] &= \left( 1-\frac{x_1}{2} \right) \left( 1-\frac{x_2}{2} \right) \\[8pt] &= 1-\frac{x_2}{2}-\frac{x_1}{2}+\frac{x_1 x_2}{4} \\[8pt] &= \frac{x_1x_2}{4}-\frac{1}{2}(x_1+x_2)+1; \quad \\[8pt] & \qquad 0 \leq x_1 \leq 2; \ 0 \leq x_2 \leq 2 \end{aligned}
Artikel Terkait
I was angered, for I had no shoes. Then I met a man who had no feet.
Chinese Proverb