www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Statistika Matematika I   »   Distribusi Bersama Peubah Acak   ›  Independensi Peubah Acak - Rumus dan Contoh Soal
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552
Peubah Acak

Independensi Peubah Acak - Rumus dan Contoh Soal

Dua peubah acak \(X\) dan \(Y\) dikatakan independen secara statistik (statistically independent) jika dan hanya jika \( f(x,y)=f(x) \cdot f(y) \).


Misalkan \(X\) dan \(Y\) adalah dua peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, dengan distribusi peluang bersama (joint distribution) \(f(x,y)\) dan distribusi marginalnya masing-masing \(f(x)\) dan \(f(y)\), maka peubah-peubah acak \(X\) dan \(Y\) dikatakan independen secara statistik (statistically independent) jika dan hanya jika:

Gambar

untuk semua \((x,y)\) di dalam range nya.

Contoh 1: Kasus Kontinu

Jika \(X\) dan \(Y\) adalah peubah-peubah acak kontinu dengan joint pdf

Gambar

Tunjukkan bahwa \(X\) dan \(Y\) independen.

Pembahasan:

Ini adalah contoh yang sangat sederhana. Untuk menunjukkan bahwa \(X\) dan \(Y\) independen, kita perlu mencari pdf marginal dari \(X\) dan \(Y\) terlebih dahulu. Kita peroleh

Gambar

Dengan demikian, karena

Gambar

Maka, terbukti bahwa \(X\) dan \(Y\) adalah saling independen.

Contoh 2: Kasus Kontinu

Diketahui joint pdf sebagai berikut:

\begin{aligned} f(x,y) = \begin{cases} xy^2e^{-y}, &\quad 0\leq y \leq \infty; \ 0 < x < 1 \\[1em] 0, &\quad x,y \ \text{lainnya} \end{cases} \end{aligned}

Tentukan apakah \(X\) dan \(Y\) adalah saling bebas (independent).

Pembahasan:

Kita tentukan dulu distribusi marginal dari \(X\) dan \(Y\), yakni:

\begin{aligned} f(x) &= \int_y f(x,y) \ dy \\[8pt] &= \int_0^\infty xy^2e^{-y} \ dy = x \int_0^\infty y^2e^{-y} \ dy \\[8pt] &= x \left( \left[-y^2e^{-y} \right]_0^\infty + 2 \int_0^\infty ye^{-y} \ dy \right) \\[8pt] &= x ( 0 + 2 \cdot 1) = 2x; \quad 0 < x < 1 \\[8pt] f(y) &= \int_x f(x,y) \ dx \\[8pt] &= \int_0^1 xy^2e^{-y} \ dx = y^2e^{-y} \int_0^1 x \ dx \\[8pt] &= y^2e^{-y} \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1 = \frac{1}{2}y^2e^{-y}; \quad 0 < y <\infty \end{aligned}

Dengan demikian, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} f(x,y) &= f(x) \cdot f(y) \\[8pt] xy^2e^{-y} &= 2x \cdot \frac{y^2}{2}e^{-y} \\[8pt] xy^2e^{-y} &= xy^2e^{-y}\end{aligned}

Perhatikan bahwa hasil perkalian \( f(x) \) dan \(f(y)\) sama dengan \( f(x,y) \) sehingga \(X\) dan \(Y\) adalah saling bebas.

Contoh 3: Kasus Kontinu

Diketahui peubah acak \(X_1\) dan \(X_2\) adalah saling bebas dan memiliki distribusi yang identik (independent and identically distributed) dengan fungsi kepekatan peluang (pdf) sebagai berikut:

\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} \displaystyle 1-\frac{x}{2}, &\quad 0\leq x \leq 2 \\[1em] 0, &\quad x \ \text{lainnya} \end{cases} \end{aligned}

Tentukanlah pdf bersama (joint pdf) untuk \( f(x_1,x_2) \).

Pembahasan:

Karena \(X_1\) dan \(X_2\) saling bebas, maka sesuai definisi, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} f(x_1,x_2) &= f(x_1) \cdot f(x_2) \\[8pt] &= \left( 1-\frac{x_1}{2} \right) \left( 1-\frac{x_2}{2} \right) \\[8pt] &= 1-\frac{x_2}{2}-\frac{x_1}{2}+\frac{x_1 x_2}{4} \\[8pt] &= \frac{x_1x_2}{4}-\frac{1}{2}(x_1+x_2)+1; \quad \\[8pt] & \qquad 0 \leq x_1 \leq 2; \ 0 \leq x_2 \leq 2 \end{aligned}
Artikel Terkait

I was angered, for I had no shoes. Then I met a man who had no feet.