www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Statistika Matematika I   »   Sifat Peubah Acak   ›  Nilai Harapan Bersyarat (Conditional Expected Value) - Rumus dan Contoh Soal
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552
Peubah Acak

Nilai Harapan Bersyarat (Conditional Expected Value) - Rumus dan Contoh Soal

Dalam tulisan ini, kita akan membahas tentang cara mencari nilai harapan bersyarat (conditional expected value) dari suatu peubah acak.


Pada tulisan sebelumnya, kita telah membahas tentang distribusi bersyarat (conditional distribution). Dalam kesempatan ini, kita akan lanjutkan ke materi yang masih berkaitan dengan distribusi bersyarat yaitu mencari nilai harapan bersyarat (conditional expected value) dari suatu peubah acak.

Kita berikan definisi mengenai nilai harapan bersyarat berikut ini:

Definisi:

Misalkan \(X\) dan \(Y\) adalah peubah acak bersama (joint random variable), maka nilai harapan \(Y\) dengan syarat \(X=x\) adalah:

nilai harapan bersyarat

Contoh notasi penulisan yang lain:

nilai harapan bersyarat
Contoh 1:

Jika diketahui:

contoh nilai harapan bersyarat

Nilai harapan bersyaratnya adalah:

contoh nilai harapan bersyarat

\(E_Y(Y│x)\) merupakan fungsi dari \(x\). Jadi, \(E_Y (Y│x)\) dapat dipandang sebagai obyek baru (random variable) yang bergantung pada nilai \(x\).

Teorema:

Jika \(X\) dan \(Y\) adalah distribusi bersama random variables, maka

Gambar

Bukti: (kasus kontinu)

Gambar
Gambar
Gambar
Contoh 2:

Diketahui \(X\) adalah variabel random yang berdistribusi Bernoulli dengan parameter "\(p\)" atau \(X \sim Ber(p)\). Misalkan \(E(Y│X=0)=1\) dan \(E(Y│X=1)=2\). Jika \(p = ½\), berapa nilai \(E(Y)\)?

Pembahasan:

Diketahui:

contoh nilai harapan bersyarat

Jika \(p=1/2\), maka

contoh nilai harapan bersyarat

Teorema:

Jika \(X\) dan \(Y\) adalah random variables independen, maka \(E(Y│x)=E(Y)\) dan \(E(X│y)=E(X)\).

Bukti:

Jika \(X\) dan \(Y\) adalah independen, maka \(f(x,y)=f(x)⋅f(y)\) sehingga \(f(y│x)=f(y)\) dan \(f(x│y)=f(x)\). Dalam kasus kontinu,

Gambar

Untuk kasus diskrit bisa dicari dengan cara serupa.

Varians Bersyarat (Conditional Variance)

Selain nilai harapan bersyarat di atas, konsep penting terkait peubah acak yang akan kita pelajari yaitu varians bersyarat (conditional variance). Kita dapat menggunakan rumus nilai harapan bersyarat di atas untuk mencari varians bersyarat dari suatu peubah acak. Kita berikan definisi dan beberapa teorema terkait varians bersyarat berikut ini.

Definisi:

Varians bersyarat dari \(Y\) dengan syarat \(X=x\) diberikan oleh

\[ Var(Y|x) = E(Y^2|x) - \left[ E(Y|x) \right]^2 \]

Teorema:

Jika \(X\) dan \(Y\) adalah distribusi bersama peubah acak, maka

Gambar

Bukti: (i)

Gambar

Bukti: (ii)

Gambar

Teorema:

Jika \(X\) dan \(Y\) adalah distribusi bersama peubah acak dan \(h(x,y)\) merupakan sebuah fungsi, maka

\[ E[h(x,y)] = E_X [E(h(x,y)|X)] \]

Teorema:

Jika \(X\) dan \(Y\) adalah distribusi bersama peubah acak dan \(g(x)\) merupakan sebuah fungsi, maka

\[ E \left[ g(x) Y|x \right] = g(x)E(Y|x) \]

Teorema:

Jika \(E(Y│x)\) merupakan fungsi linear dari \(x\), maka

\[ E(Y|x) = μ_2 + \rho \frac{σ_2}{σ_1} (x-μ_1) \]

dan

\[ E_x \left[ Var(Y|X) \right] = σ_2^2 (1-\rho^2) \]

Bukti:

Jika \(E(Y│x)=ax+b\), maka

Gambar

dan

Gambar

Sehingga,

Gambar

Berikutnya,

Gambar

Perhatikan bahwa jika varians bersyarat tidak bergantung pada \(x\), maka

Gambar
Artikel Terkait

Meeting you was fate, becoming your friend was a choice, but falling in love with you was beyond my control.