JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Statistika Matematika I » Sifat Peubah Acak › Nilai Harapan Bersyarat
Peubah Acak

Nilai Harapan Bersyarat

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Definisi:

Misalkan \(X\) dan \(Y\) adalah peubah acak bersama (joint random variable), maka nilai harapan \(Y\) dengan syarat \(X=x\) adalah:

Gambar

Contoh notasi penulisan yang lain:

Gambar

Contoh 1:

Jika diketahui:

Gambar

Nilai harapan bersyaratnya adalah:

Gambar

\(E_Y(Y│x)\) merupakan fungsi dari \(x\). Jadi \(E_Y (Y│x)\) dapat dipandang sebagai obyek baru (random variable) yang bergantung pada nilai \(X\).

Teorema:

Jika \(X\) dan \(Y\) adalah distribusi bersama random variables, maka

Gambar

Bukti: (kasus kontinu)

Gambar
Gambar
Gambar

Contoh 2:

Diketahui \(X\) adalah variabel random yang berdistribusi Bernoulli dengan parameter "\(p\)" atau \(X \sim Ber(p)\). Misalkan \(E(Y│X=0)=1\) dan \(E(Y│X=1)=2\). Jika \(p = ½\), berapa nilai \(E(Y)\)?

Pembahasan:

Diketahui:

Gambar

Jika \(p=1/2\), maka

Gambar

Teorema:

Jika \(X\) dan \(Y\) adalah random variables independen, maka \(E(Y│x)=E(Y)\) dan \(E(X│y)=E(X)\).

Bukti:

Jika \(X\) dan \(Y\) adalah independen, maka \(f(x,y)=f(x)⋅f(y)\) sehingga \(f(y│x)=f(y)\) dan \(f(x│y)=f(x)\). Dalam kasus kontinu,

Gambar

Untuk kasus diskrit bisa dicari dengan cara serupa.

Variance Bersyarat

Definisi:

Varians bersyarat dari \(Y\) dengan syarat \(X=x\) diberikan oleh

\[ Var(Y|x) = E(Y^2|x) - \left[ E(Y|x) \right]^2 \]

Teorema:

Jika \(X\) dan \(Y\) adalah distribusi bersama peubah acak, maka

Gambar

Bukti: (i)

Gambar

Bukti: (ii)

Gambar

Teorema:

Jika \(X\) dan \(Y\) adalah distribusi bersama peubah acak dan \(h(x,y)\) merupakan sebuah fungsi, maka

\[ E[h(x,y)] = E_X [E(h(x,y)|X)] \]

Teorema:

Jika \(X\) dan \(Y\) adalah distribusi bersama peubah acak dan \(g(x)\) merupakan sebuah fungsi, maka

\[ E \left[ g(x) Y|x \right] = g(x)E(Y|x) \]

Teorema:

Jika \(E(Y│x)\) merupakan fungsi linear dari \(x\), maka

\[ E(Y|x) = μ_2 + \rho \frac{σ_2}{σ_1} (x-μ_1) \]

dan

\[ E_x \left[ Var(Y|X) \right] = σ_2^2 (1-\rho^2) \]

Bukti:

Jika \(E(Y│x)=ax+b\), maka

Gambar

dan

Gambar

Sehingga,

Gambar

Berikutnya,

Gambar

Perhatikan bahwa jika varians bersyarat tidak bergantung pada \(x\), maka

Gambar
Artikel Terkait

Meeting you was fate, becoming your friend was a choice, but falling in love with you was beyond my control.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: