JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Statistika Matematika I » Distribusi Sampling › Distribusi Normal
Peubah Acak

Distribusi Normal

Distribusi peluang peubah acak normal bergantung pada dua parameter \(μ\) dan \(σ\), yaitu rataan dan simpangan bakunya.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Suatu peubah acak X yang distribusinya berbentuk lonceng seperti pada Gambar 1 di bawah disebut peubah acak normal. Distribusi peluang peubah acak normal bergantung pada dua parameter \(μ\) dan \(σ\), yaitu rataan dan simpangan bakunya.

Jadi, fungsi kepadatan peluang X yang berdistribusi normal dinyatakan sebagai berikut:

img

Dalam beberapa literatur, distribusi normal biasa disingkat juga dengan notasi \(n(x;μ,σ)\).

Gambar

Gambar 1. Kurva normal

Teorema:

Jika \(X_i \sim N(μ_i,σ_i^2); \ i=1,…,n\) menunjukkan variabel independen yang berdistribusi normal, maka

Gambar

Teorema:

Jika \(X_1,X_2,…,X_n\) menunjukkan sampel acak dari \(N(μ,σ^2)\), maka

Gambar

Teorema:

Jika \(X_1,X_2,…,X_n\) menunjukkan sampel acak dari \(N(μ,σ^2)\), maka

Gambar

Bukti:

Untuk pembuktian teorema ini, kita bisa menerapkan sifat MGF berikut:

Gambar

Dengan sedikit manipulasi, kita peroleh

Gambar

sehingga \(a= \frac{-μ}{σ/\sqrt{n}}\) dan \(b= \frac{1}{σ/\sqrt{n}}\). Dengan demikian, kita peroleh

Gambar

Perhatikan bahwa \( e^{\frac{1}{2}t^2} \) merupakan mgf normal standard. Dengan demikian, \(Z= \frac{\overline{X}-μ}{σ/\sqrt{n}}\) akan mengikuti distribusi normal dengan rata-rata 0 dan varians 1.

Catatan:

Gambar

Teorema:

Misalkan dua sampel acak independen \(X_1,X_2,…,X_{n_1}\) dan \(Y_1,Y_2,…,Y_{n_2}\), dengan masing-masing sampel \(n_1\) dan \(n_2\), dari populasi berdistribusi normal, \(X_i \sim N(μ_1,σ_1^2)\) dan \(Y_j \sim N(μ_2,σ_2^2)\) dan notasikan \(\overline{X}\) dan \(\overline{Y}\) sebagai rata-rata sampel acak. Maka perbedaan rata-rata kedua sampel acak akan berdistribusi normal yakni

Gambar

Bukti:

Gambar

Kita tahu bahwa MGF distribusi normal yaitu

Gambar

Dengan demikian,

Gambar
Artikel Terkait

The best and most beautiful things in this world cannot be seen or even heard, but must be felt with the heart.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: