JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Statistika Matematika I » Distribusi Fungsi Peubah Acak › Teknik Transformasi Satu-Satu
Peubah Acak

Teknik Transformasi Satu-Satu

Teknik transformasi untuk mencari distribusi suatu peubah acak baru dapat dibagi jadi dua yakni transformasi satu-satu dan transformasi yang bukan satu-satu.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Pada umumnya terdapat tiga teknik untuk mencari distribusi dari suatu peubah acak yakni teknik CDF, teknik transformasi, dan teknik MGF. Kita telah membahas teknik CDF, dan sekarang kita akan lanjutkan dengan teknik transformasi.

Teknik transformasi ini dapat dibagi jadi dua yakni transformasi satu-satu dan transformasi yang bukan satu-satu. Pada artikel ini kita fokus pada teknik transformasi yang satu-satu, dan teknik transformasi yang bukan satu-satu disajikan pada artikel berikutnya.

Transformasi Satu-Satu Kasus Peubah Acak Diskrit \(X\)

Misalkan \(X\) adalah peubah acak diskrit dengan pdf \(f_X (x)\). Jika \(Y = g(X)\) merupakan transformasi satu-satu, maka fungsi pdf dari \(Y\) adalah

Gambar

di mana \(B=\{y|f_Y (y)>0\}\) dan \(g^{-1}\) merupakan fungsi kebalikan umum.

Buki:

Karena \(Y = g(X)\) adalah fungsi satu-satu yang memetakan \(Y\) ke \(X\), maka untuk setiap nilai \(y=f(x)\) terdapat tepat satu nilai \(x = g^{-1} (y)\), sehingga:

Gambar

di mana \(B=\{y|f_Y (y)>0\}\).

Contoh 1: Kasus Diskrit

Misalkan peubah acak \(X\) mengikuti distribusi geometri dengan parameter \(p\), yakni \(X \sim Geo(p)\) dan \(f_X (x) = pq^{x-1}; \ x=1,2,3,…\). Tentukan pdf dari \(Y = X-1\).

Pembahasan:

Karena \( y = x - 1 \), maka \( x = y + 1 = g^{-1}(y) \). Sehingga pdf dari \( Y \) adalah

Gambar
Transformasi Satu-Satu Kasus Peubah Acak Kontinu \(X\)

Misalkan \(X\) adalah peubah acak kontinu dengan pdf \(f_X (x)\). Jika \(Y = g(X)\) merupakan transformasi satu-satu dari \(A=\{x|f_X (x)>0\}\) ke \(B=\{y|f_Y (y)>0\}\), maka fungsi pdf dari \(Y\) adalah

Gambar

dengan syarat turunan (derivative) \(\frac{d}{dy} (g^{-1} (y))\) adalah kontinu dan taknol dalam \(B\).

Bukti:

Pada kasus kontinu maka fungsi satu-satu hanya memiliki satu di antara 2 kemungkinan yaitu:

  1. Fungsi tersebut monoton naik (monotonic increasing): \(a>b⇒f(a)>f(b)\)
  2. Fungsi tersebut monoton turun (monotonic decreasing): \(a>b⇒f(a) < f(b)\)

Dalam teori peluang kita tahu bahwa \(F_X (x)\) adalah fungsi yang monoton naik dan \(1-F_X (x)\) adalah fungsi monoton turun. Perhatikan gambar berikut.

Gambar

Gambar: Fungsi monoton naik dan fungsi monoton turun.

Karena sifat \(F_X (x)\) dan \(1-F_X (x)\) yang monoton tersebut maka aplikasi metode transformasi dilakukan melalui salah satu dari kedua fungsi tersebut, sebagai berikut:

Jika \(Y = g(X)\) merupakan fungsi naik (increasing function) maka \(g(x)≤y ↔x≤g^{-1} (y)\), sehingga kita gunakan \(F_X (x)\) untuk menurunkan fungsi \(f_Y (y)\) sebagai berikut:

Gambar

Dengan demikian,

Gambar

Jika \(Y = g(X)\) merupakan fungsi turun (decreasing function) maka \(g(x)≤y ↔x≥g^{-1} (y)\), sehingga kita gunakan \(1-F_X (x)\) untuk menurunkan fungsi \(f_Y (y)\) sebagai berikut:

Gambar

Dengan demikian,

Gambar

Contoh 2: Kasus Kontinu

Misalkan diketahui \( F_X(x) = 1 - e^{-2x}, \quad 0 < x < \infty \). Jika \( Y = e^X \), tentukanlah distribusi dari \(Y\).

Pembahasan:

Kita cari pdf dari \(X\) terlebih dahulu, yakni

Gambar

Karena \( y = e^x \), maka \( x = \ln y = g^{-1} (y) \). Sehingga

Gambar

Dengan demikian, fungsi pdf dari \(Y\) yaitu

Gambar

Contoh 3: Kasus Kontinu

Jika diketahui \( f_X(x) = 1; 0 < x < 1 \). Tentukan pdf dari \( Y = e^X \).

Pembahasan:

Karena \(y = e^x\), maka \( x = \ln y = g^{-1} (y) \). Sehingga

Gambar

Dengan demikian, pdf dari \(Y\) adalah

Gambar

Contoh 4: Kasus Kontinu

Andaikan \(X\) mempunyai fungsi kepekatan peluang (pdf)

Gambar

dan nol untuk \(x\) lainnya, di mana \(θ\) adalah parameter positif. Ini merupakan contoh distribusi Pareto. Tentukanlah pdf dari \(Y=\ln ⁡X\).

Pembahasan:

Karena \(x > 1\) maka \(y > 0\) dan invers transformasinya adalah \(x=e^y\) dan \(dx/dy=e^y\). Dengan demikian,

Gambar

Perhatikan bahwa fungsi pdf dari \(Y\) adalah pdf untuk distribusi eksponensial.

Transformasi Bersama (Joint Transformations)

Teorema-teorema yang telah kita bahas sebelumnya dapat diperluas untuk fungsi beberapa peubah acak.

Definisi: Kasus Diskrit

Andaikan \(X_1, X_2\) mempunyai pdf bersama \(f_{X_1,X_2} (x_1,x_2)\). Misalkan \(Y_1=g_1 (X_1,X_2)\) dan \(Y_2=g_2 (X_1,X_2)\). Jika \(y_1=g_1 (x_1,x_2)\) dan \(y_2=g_2 (x_1,x_2)\) adalah transformasi satu-satu, maka \(x_1=g_1^{-1} (y_1,y_2)\) dan \(x_2=g_2^{-1} (y_1,y_2)\). Dengan demikian, joint pdf dari \(Y_1\) dan \(Y_2\) adalah

Gambar

Definisi: Kasus Kontinu

Andaikan \(X_1, X_2\) mempunyai pdf bersama \(f_{X_1,X_2} (x_1,x_2)\). Misalkan \(Y_1=g_1 (X_1,X_2)\) dan \(Y_2=g_2 (X_1,X_2)\). Jika \(y_1=g_1 (x_1,x_2)\) dan \(y_2=g_2 (x_1,x_2)\) adalah transformasi satu-satu, maka \(x_1=g_1^{-1} (y_1,y_2)\) dan \(x_2=g_2^{-1} (y_1,y_2)\). Kemudian jika |J|, yang diberikan oleh

Gambar

adalah determinan Jacobian transformasi. Maka joint pdf dari \(Y_1\) dan \(Y_2\) adalah

Gambar

Contoh 5: Kasus Kontinu

Andaikan \(X_1\) dan \( X_2 \) mempunyai joint pdf

Gambar

Dengan transformsi \( y_1 = x_1 \) dan \( y_2 = x_1 + x_2 \), kita peroleh \( x_1 = y_1 \) dan \( x_2 = y_2 - y_1 \). Himpunan \( B = \{ (y_1,y_2): 0 \leq y_1 \leq y_2 \leq \infty \} \). Nilai Jacobian adalah

Gambar

Dengan demikian, joint pdf dari \( Y_1 \) dan \( Y_2 \) diberikan oleh

Gambar

Jika kita hanya ingin mencari pdf dari \( Y_2 = X_1 + X_2 \), kita harus mencari pdf marginal dari \( Y_2 \) dengan mengintegralkan keluar \(Y_1\). Kita peroleh

Gambar

Contoh 6: Kasus Kontinu

Jika diketahui \(X_1\) dan \( X_2 \) mempunyai joint pdf

Gambar

Andaikan kita ingin mencari pdf dari \( Y_1 = X_1/X_2 \). Kita perlu peubah lain di sini, yakni \( Y_2 = X_2 \). Kita pilih peubah \( Y_2 \) agar kita bisa mencari invers dengan mudah. Inversnya adalah \( x_1 = y_1y_2 \) dan \( x_2 = y_2 \). Nilai Jacobian adalah

Gambar

Kita punya \( A = \{ 0 < x_1 < x_2 < 1 \} \), maka \( B = \{ 0 < y_1y_2 < y_2 < 1 \} \) atau \( B = \{ 0 < y_1 < 1, 0 < y_2 < 1 \} \). Sehingga,

Gambar

Dengan demikian, pdf marginal dari \( Y_1 \) adalah

Gambar
Artikel Terkait

Jika seorang pemimpin tahu bagaimana memasuki suatu urusan, maka ia harus tahu juga bagaimana cara keluar dari urusan itu, sesempit apapun jalan keluar yang tersedia.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: