Statistika Matematika I   »   Distribusi Fungsi Peubah Acak   ›  Teknik Transformasi Satu-Satu

Peubah Acak

Teknik Transformasi Satu-Satu

Teknik transformasi untuk mencari distribusi suatu peubah acak baru dapat dibagi jadi dua yakni transformasi satu-satu dan transformasi yang bukan satu-satu.

---

Pada umumnya terdapat tiga teknik untuk mencari distribusi dari suatu peubah acak yakni teknik CDF, teknik transformasi, dan teknik MGF. Kita telah membahas teknik CDF, dan sekarang kita akan lanjutkan dengan teknik transformasi.

Teknik transformasi ini dapat dibagi jadi dua yakni transformasi satu-satu dan transformasi yang bukan satu-satu. Pada artikel ini kita fokus pada teknik transformasi yang satu-satu, dan teknik transformasi yang bukan satu-satu disajikan pada artikel berikutnya.

Transformasi Satu-Satu Kasus Peubah Acak Diskrit \(X\)

Misalkan \(X\) adalah peubah acak diskrit dengan pdf \(f_X (x)\). Jika \(Y = g(X)\) merupakan transformasi satu-satu, maka fungsi pdf dari \(Y\) adalah

di mana \(B=\{y|f_Y (y)>0\}\) dan \(g^{-1}\) merupakan fungsi kebalikan umum.

Buki:

Karena \(Y = g(X)\) adalah fungsi satu-satu yang memetakan \(Y\) ke \(X\), maka untuk setiap nilai \(y=f(x)\) terdapat tepat satu nilai \(x = g^{-1} (y)\), sehingga:

di mana \(B=\{y|f_Y (y)>0\}\).

Transformasi Satu-Satu Kasus Peubah Acak Kontinu \(X\)

Misalkan \(X\) adalah peubah acak kontinu dengan pdf \(f_X (x)\). Jika \(Y = g(X)\) merupakan transformasi satu-satu dari \(A=\{x|f_X (x)>0\}\) ke \(B=\{y|f_Y (y)>0\}\), maka fungsi pdf dari \(Y\) adalah

dengan syarat turunan (derivative) \(\frac{d}{dy} (g^{-1} (y))\) adalah kontinu dan taknol dalam \(B\).

Bukti:

Pada kasus kontinu maka fungsi satu-satu hanya memiliki satu di antara 2 kemungkinan yaitu:

1. Fungsi tersebut monoton naik (monotonic increasing): \(a>b⇒f(a)>f(b)\)
2. Fungsi tersebut monoton turun (monotonic decreasing): \(a>b⇒f(a) < f(b)\)

Dalam teori peluang kita tahu bahwa \(F_X (x)\) adalah fungsi yang monoton naik dan \(1-F_X (x)\) adalah fungsi monoton turun. Perhatikan gambar berikut.

Gambar: Fungsi monoton naik dan fungsi monoton turun.

Karena sifat \(F_X (x)\) dan \(1-F_X (x)\) yang monoton tersebut maka aplikasi metode transformasi dilakukan melalui salah satu dari kedua fungsi tersebut, sebagai berikut:

Jika \(Y = g(X)\) merupakan fungsi naik (increasing function) maka \(g(x)≤y ↔x≤g^{-1} (y)\), sehingga kita gunakan \(F_X (x)\) untuk menurunkan fungsi \(f_Y (y)\) sebagai berikut:

Dengan demikian,

Jika \(Y = g(X)\) merupakan fungsi turun (decreasing function) maka \(g(x)≤y ↔x≥g^{-1} (y)\), sehingga kita gunakan \(1-F_X (x)\) untuk menurunkan fungsi \(f_Y (y)\) sebagai berikut:

Dengan demikian,

Transformasi Bersama (Joint Transformations)

Teorema-teorema yang telah kita bahas sebelumnya dapat diperluas untuk fungsi beberapa peubah acak.