Metode Statistika II   »   Pengujian Hipotesis   ›  Uji Hipotesis Rata-Rata Dua Populasi

Pengujian Hipotesis

Uji Hipotesis Rata-Rata Dua Populasi

Suatu penelitian sering kali menggunakan dua sampel atau lebih sebagai objek penelitiannya. Tujuannya adalah untuk melihat ada-tidaknya perbedaan setelah sampel-sampel tersebut diberi perlakuan berbeda.

---

Suatu penelitian sering kali menggunakan dua sampel atau lebih sebagai objek penelitiannya. Tujuannya adalah untuk melihat ada-tidaknya perbedaan setelah sampel-sampel tersebut diberi perlakuan berbeda. Untuk itu, dilakukan pengujian hipotesis rata-rata dua populasi.

Terdapat beberapa kondisi yang perlu diperhatikan dalam pengujian hipotesis rata-rata dua populasi yakni ketika varians sama dan diketahui, varians sama dan tidak diketahui, varians tidak sama dan tidak diketahui, serta kondisi untuk pengamatan berpasangan.

Varians Sama dan Diketahui

Misalkan dua sampel acak independen masing-masing dengan ukuran \(n_1\) dan \(n_2\) ditarik dari populasi dengan rata-rata \(μ_1\) dan \(μ_2\) dan varians \(σ_1^2\) dan \(σ_2^2\). Kita tahu bahwa peubah acak

mempunyai distribusi normal standard. Di sini kita mengasumsikan bahwa \(n_1\) dan \(n_2\) cukup besar sehingga Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem) berlaku. Tentu saja, jika dua populasi tersebut berdistribusi normal, maka statistik di atas akan berdistribusi normal bahkan untuk \(n_1\) dan \(n_2\) yang kecil. Selain itu, jika kita bisa mengasumsikan bahwa \(σ_1=σ_2=σ\), maka statistik di atas menjadi

Dua statistik di atas menjadi dasar untuk pengembangan prosedur uji yang melibatkan dua rata-rata. Hipotesis nol untuk selisih dua rata-rata bisa dituliskan sebagai

Tentu saja, hipotesis alternatifnya bisa berupa dua arah atau satu arah, yakni

Jadi, untuk uji hipotesis dua rata-rata dengan variansnya diketahui, kita menghitung nilai \(\overline{x}_1\) dan \(\overline{x}_2\), lalu menggunakan statistik uji berikut

Untuk uji dua arah, maka kita tolak Ho dan menerima \(H_1:μ_1-μ_2≠d_0\) apabila \(z>z_{α/2}\) atau \(z<-z_{α/2}\). Sedangkan untuk uji satu arah maka kita tolak Ho dan menerima \(H_1:μ_1-μ_2>d_0\) apabila \(z>z_α\) dan menerima \(H_1:μ_1-μ_2 < d_0\) apabila \(z < z_α\). Kita nyatakan ini dalam tabel berikut.

Tabel 1. Pengujian hipotesis rata-rata dua populasi untuk varians sama dan diketahui

Varians Sama Tetapi Tidak Diketahui

Jika kita dapat mengasumsikan bahwa kedua populasi adalah berdistribusi normal dan bahwa \(σ_1=σ_2=σ\), maka uji-t gabungan (pooled t-test) dapat digunakan. Kita nyatakan ini lebih lanjut dalam definisi berikut.

Hipotesis, statistik uji dan wilayah kritis penolakannya untuk pengujian hipotesis rata-rata dua populasi di mana varians sama dan tak diketahui dinyatakan dalam tabel berikut.

Tabel 2. Pengujian hipotesis rata-rata dua populasi untuk varians sama tetapi tidak diketahui

Varians Tidak Sama dan Tidak DiKetahui

Terdapat situasi di mana kita tidak dapat mengasumsikan bahwa \(σ_1=σ_2\). Jika dua populasi adalah normal, maka statistik

akan mendekati distribusi-t dengan derajat bebas

Akibatnya, prosedur pengujian tidak menolak Ho ketika

Hipotesis, statistik uji dan wilayah kritis penolakannya untuk pengujian hipotesis rata-rata dua populasi di mana varians tak sama dan tak diketahui dinyatakan dalam tabel berikut.

Tabel 3. Pengujian hipotesis rata-rata dua populasi untuk varians tidak sama dan tidak diketahui

Pengamatan Berpasangan

Pengujian dua rata-rata bisa dicapai saat data dalam bentuk pengamatan berpasangan. Dalam struktur berpasangan ini, kondisi dua populasi (perlakuan) ditetapkan secara acak di dalam unit yang homogen. Penghitungan selang kepercayaan bagi \(μ_1-μ_2\) dalam situasi dengan pengamatan berpasangan di dasarkan pada peubah acak

di mana \(\overline{D}\) dan \(S_d\) adalah peubah-peubah acak yang menyatakan rata-rata dan standar deviasi perbedaan pengamatan dalam unit percobaan. Seperti dalam kasus pooled t-test, asumsinya adalah pengamatan dari tiap populasi berdistribusi normal.

Masalah dua-sampel ini secara esensi direduksi menjadi masalah satu-sampel dengan menggunakan perbedaan hitung (computed differences) \(d_1,d_2,…,d_n\). Oleh karena itu, hipotesis direduksi menjadi

Statistik uji hitung kemudian diberikan oleh

Wilayah kritis dibangun dengan menggunakan distribusi t dengan n – 1 derajat bebas.

Hipotesis, statistik uji dan wilayah kritis penolakannya untuk pengujian hipotesis rata-rata dua pengamatan berpasangan (paired observations) dinyatakan dalam tabel berikut.

Tabel 4. Pengujian hipotesis rata-rata dua pengamatan berpasangan