JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Metode Statistika II » Pengujian Hipotesis › Uji Hipotesis Proporsi Satu Populasi
Pengujian Hipotesis

Uji Hipotesis Proporsi Satu Populasi

Uji hipotesis mengenai proporsi diperlukan di banyak bidang, misalnya seorang politikus ingin mengetahui berapa proporsi pemilih yang akan memilih partainya dalam pemilu mendatang.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Uji hipotesis mengenai proporsi diperlukan di banyak bidang. Misalnya seorang politikus tentu ingin mengetahui berapa proporsi pemilih yang akan memilih partainya dalam pemilihan umum mendatang. Semua pabrik sangat berkepentingan mengetahui proporsi barang yang cacat selama pengiriman. Seorang penjudi tentu sangat bergantung pada pengetahuan mengenai proporsi hasil yang ia anggap menguntungkan.

Pada artikel ini kita akan membahas masalah pengujian hipotesis bahwa proporsi keberhasilan dalam suatu percobaan binomial sama dengan suatu nilai tertentu. Artinya, kita akan menguji hipotesis \(H_0\) bahwa \(p=p_0\), sedangkan \(p\) adalah parameter sebaran binomial. Hipotesis alternatifnya dapat berupa satu-arah atau dua-arah: \(p < p_0, p>p_0\), atau \(p≠p_0\).

Statistik yang akan kita gunakan sebagai landasan kriterium keputusan adalah peubah acak binomial \(X\), meski kita pun dapat menggunakan statistik \(\overline{P}=X/n\) sama baiknya. Nilai-nilai \(X\) yang jauh dari rata-rata \(μ=np_0\) akan membawa pada penolakan hipotesis nol.

Untuk menguji hipotesis

Gambar

kita gunakan distribusi binomial untuk menghitung nilai-P, yakni

Gambar

Nilai x menyatakan banyaknya sukses dalam sampel berukuran n. Bila nilai-P ini lebih kecil atau sama dengan α, uji kita signifikan pada taraf α dan kita tolak Ho dan menerima H1. Begitu pula, untuk menguji

Gambar

pada tingkat signifikansi α, hitunglah

Gambar

dan tolak Ho dan menerima H1 bila nilai-P lebih kecil atau sama dengan α.

Terakhir, untuk menguji

Gambar

pada tingkat signifikansi α, hitunglah

Gambar

dan tolak Ho dan menerima H1 bila nilai-P hitung lebih kecil atau sama dengan α.

Langkah-langkah untuk pengujian hipotesis nol mengenai proporsi lawan berbagai hipotesis alternatifnya dengan menggunakan peluang binomial pada Tabel Binomial adalah sebagai berikut:

  1. \(H_0:p=p_0\).
  2. \(H_1\): Alternatifnya adalah \(p < p_0, p>p_0\), atau \(p≠p_0\).
  3. Tentukan tingkat signifikansi α.
  4. Statistik uji: Peubah Binomial \(X\) dengan \(p=p_0\)
  5. Perhitungan: Hitunglah \(x\), yaitu banyaknya keberhasilan. Kemudian hitung nilai-P yang sesuai.
  6. Keputusan: Tariklah kesimpulan berdasarkan nilai-P.

Contoh 1:

Seorang pemborong menyatakan bahwa di 70% rumah-rumah yang baru dibangun di kota Richmond dipasang suatu alat pemompa udara panas. Apakah anda setuju dengan pernyataan tersebut bila di antara 15 rumah baru yang diambil secara acak terdapat 8 rumah yang menggunakan pompa udara panas. Gunakan taraf nyata 0,10.

Pembahasan:

  1. \(H_0:p=0,7\)
  2. \(H_1:p≠0,7\).
  3. \(α=0,10\).
  4. Wilayah kritik: \(x≤7\) dan \(x≥14\), dari Tabel Binomial.
  5. Perhitungan: \(x = 8\).
  6. Keputusan: Terima Ho dan simpulkan bahwa tidak ada alasan yang kuat untuk meragukan pernyataan pemborong di atas.

Dari Contoh 1, kita mengetahui bahwa nilai-nilai peluang binomial dapat dihitung langsung dari rumus binomial dari Tabel Binomial bila n kecil. Untuk n yang besar kita dapat menggunakan prosedur hampiran (approximation). Bila nilai yang dihipotesiskan \(p_0\) mendekati nol atau 1, kita dapat menggunakan sebaran Poisson dengan parameter \(μ=np_0\).

Namun, untuk n yang besar, hampiran normal dengan parameter \(μ=np_0\) dan \(σ^2=np_o q_0\) biasanya lebih disukai, dan hampiran ini memang sangat teliti asalkan \(p_0\) tidak terlalu mendekati pada nol atau 1. Bila digunakan hampiran normal, nilai \(z\) untuk pengujian \(p=p_0\) diberikan oleh

\[ z = \frac{p-p_0}{\sqrt{pq/n}} \]

yang merupakan nilai bagi peubah acak normal baku \(Z\). Oleh karena itu, untuk uji dua-arah dengan taraf nyata α, wilayah kritisnya adalah \(z < -z_{α/2}\) dan \(z > z_{α/2}\). Bila alternatifnya satu-arah \(p < p_0\), wilayah kritisnya adalah \(z<-z_α\), dan bila alternatifnya \(p>p_0\), maka wilayah kritisnya \(z>z_α\).

Untuk menguji hipotesis nol mengenai proporsi populasi dengan menggunakan hampiran normal, kita menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:

  1. \(H_0:p=p_0\).
  2. \(H_1\): Alternatifnya adalah \(p < p_0, p>p_0\), atau \(p≠p_0\).
  3. Tentukan tingkat signifikansi α.
  4. Perhitungan: Dari sampel berukuran n yang diperoleh, hitunglah x dan kemudian
  5. Wilayah kritisnya: \(z<-z_α\) bila alternatifnya \(p < p_0, z>z_α\) bila alternatifnya \(p>p_0, z<-z_{α/2}\) dan \(z>z_{α/2}\) bila alternatifnya \(p≠p_0\).
  6. Keputusan: Tolak Ho bila \(z\) jatuh ke dalam wilayah kritis; dan terima Ho bila \(z\) jatuh ke dalam wilayah penerimaan.

Contoh 2:

Suatu obat penenang ketegangan syarat diduga hanya 60% efektif. Hasil percobaan dengan obat baru terhadap 100 orang dewasa penderita ketegangan syarat, yang diambil secara acak, menunjukkan bahwa obat baru itu 70% efektif. Apakah ini merupakan bukti yang cukup untuk menyimpulkan bahwa obat baru itu lebih baik daripada yang beredar sekarang? Gunakan taraf nyata 0,05.

Pembahasan:

  1. \(H_0:p=0,6\)
  2. \(H_1:p>0,6\).
  3. \(α=0,05\).
  4. Wilayah kritiknya: z > 1,645
  5. Perhitungan:
  6. Gambar
  7. Keputusan: Tolak Ho dan simpulkan bahwa obat baru tersebut memang lebih manjur.

Contoh 3:

Sebuah perusahaan yang memproduksi kapsul penurun tekanan darah menyatakan bahwa 30% pasien dapat sembuh jika meminum obat tersebut. Untuk menguji pernyataan ini, dilakukan pemeriksaan terhadap 140 pasien penderita tekanan daerah tinggi dan ternyata sebanyak 35 pasien tekanan darahnya turun. Ujilah dengan taraf signifikansi 5% apakah pernyataan perusahaan yang memproduksi kapsul penurun tekanan darah dapat diterima.

Pembahasan:

\( p=0,30; \hat{p}=35/140\) dan \( \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{(0,3)(1-0,3)}{140}} = 0,039 \)

  1. Rumuskan hipotesis nol dan hipotesis alternatif.
  2. \(H_0:p=0,30\)

    \(H_1:p<0,30\)

  3. Taraf signifikansi 5% sehingga \(z_0,05=1,645\)
  4. Wilayah kritis penolakan: \(z_0<-1,645\)
  5. Pengujian statistik
  6. \[ z_0 = \frac{0,25-0,30}{0,039} = -1,29 \]

  7. Karena \(z_0=-1,29>-1,65\), maka hipotesis nol tidak ditolak. Dapat disimpulkan bahwa tidak cukup bukti untuk meragukan pernyataan perusahaan tersebut dengan taraf signifikansi 5%.
Artikel Terkait

People generally see what they look for, and hear what they listen for.