Metode Statistika II   »   Pendugaan Parameter   ›  Pendugaan Parameter Rata-rata Untuk Satu Populasi

Pendugaan Parameter

Pendugaan Parameter Rata-rata Untuk Satu Populasi

Salah satu penduga titik bagi rata-rata populasi \(μ\) adalah statistik \(\overline{X}\). Distribusi sampling (sampling distribution) dari \(\overline{X}\) berpusat di \(μ\)

---

Dalam banyak kesempatan, mengestimasi rata-rata populasi bermanfaat dalam penelitian bisnis. Misalnya, manajer sumber daya manusia di sebuah perusahaan ingin memperkirakan rata-rata jumlah hari kerja yang dilewatkan seorang karyawan per tahun karena sakit.

Jika perusahaan memiliki ribuan karyawan, penghitungan langsung rata-rata populasi seperti ini secara praktis tidak mungkin karena besarnya sumber daya yang harus dikeluarkan berupa biaya, tenaga, dan waktu. Sebaliknya, sampel karyawan secara acak dapat diambil, dan rata-rata sampel dari jumlah hari sakit dapat digunakan untuk memperkirakan rata-rata populasi.

Salah satu penduga titik bagi rata-rata populasi \(μ\) adalah statistik \(\overline{X}\). Distribusi penarikan sampel (sampling distribution) \(\overline{X}\) berpusat di \(μ\), dan dalam sebagian besar penerapannya, ragamnya lebih kecil daripada ragam penduga-penduga lainnya. Oleh karena itu, rata-rata sampel \(\overline{x}\) digunakan sebagai nilai dugaan titik bagi rata-rata populasi \(μ\).

Kita tahu bahwa \( \sigma_{\overline{x}}^2 = \displaystyle{ \frac{\sigma^2}{n} } \) sehingga sampel yang besar akan menghasilkan nilai \(\overline{X}\) yang berasal dari suatu distribusi sampling dengan ragam yang kecil. Dengan demikian, bila \(n\) besar maka \(\overline{x}\) akan merupakan nilai dugaan yang sangat akurat bagi \(μ\).

Bila sampel diperoleh dari suatu distribusi normal, atau bila \(n\) cukup besar, kita dapat memperoleh selang kepercayaan bagi \(μ\) dengan mempelajari distribusi sampling bagi \(\overline{X}\). Kita tahu bahwa distribusi sampling bagi \(\overline{X}\) adalah normal dengan rata-rata \(\mu_{\overline{x}} =\mu \) dan simpangan baku \(\sigma_{\overline{x}} = \sigma/\sqrt{n} \).

Dengan melambangkan \(z_{α/2}\) bagi nilai \(z\) yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normalnya adalah \(α/2\), kita dapat melihat dari Gambar 1 bahwa

Gambar 1. \( P(-z_{α/2} < Z < z_{α/2}) = 1-α \)

Sedangkan dalam hal ini

Dengan demikian,

Dengan berturut-turut mengalikan setiap suku ketaksamaan tersebut dengan \(σ/\sqrt{n}\), diikuti dengan mengurangkan \(\overline{X}\) dari setiap suku, dan terakhir mengalikan ketaksamaan tersebut dengan -1, kita peroleh

Untuk sampel kecil yang diambil dari populasi yang tidak normal, kita tidak dapat mengharapkan bahwa derajat kepercayaan bagi selang tersebut akan akurat. Tetapi bila ukuran sampelnya \(n≥30\), bagaimanapun bentuk populasinya, teori penarikan sampel menjamin akan diperolehnya hasil yang memuaskan.

Untuk menghitung selang kepercayaan \((1-α)100\)% bagi \(μ\), kita telah mengasumsikan bahwa \(σ\) diketahui. Karena asumsi ini biasanya tidak berlaku, kita akan mengganti \(σ\) dengan simpangan baku sampel \(s\), asalkan \(n≥30\).

Sumber:

Black, Ken. (2010). Business Statistics: For Contemporary Decision Making, 6th ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc.

Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th ed. Boston: Pearson Education, Inc.