Contoh 1: Kasus Diskrit

Andaikan $X$ adalah peubah acak diskrit dengan pdf

Jika $Y = |X|$, maka tentukanlah pdf dari $Y$.

Pembahasan:

Karena $Y = |X|$ dan $A = \{ x = -2, -1, 0, 1, 2 \}$, maka jelas $B = \{0, 1, 2\}$. Sehingga

Cara lain untuk menyatakan ini adalah

Contoh 2: Kasus Kontinu

Misalkan $X$ adalah peubah acak kontinu yang mengikuti distribusi uniform, yakni $X \sim UNIF(-1,1)$ dengan pdf

Jika $Y=X^2$, tentukanlah $f_Y (y)$.

Pembahasan:

Perhatikan bahwa $Y=X^2$ di mana $A = (-1,1)$ merupakan fungsi yang tidak satu-satu sehingga tidak ada solusi unik untuk $Y=X^2$. Namun, kita masih dapat memperoleh solusi unik dengan cara mempartisi $A = (-1,1)$ menjadi $A_1=(-1,0)$ dan $A_2=(0,1)$. Sehingga, solusi uniknya adalah

Dengan demikian, pdf dari $Y$ adalah

Contoh 3: Kasus Kontinu

Misalkan $X$ adalah peubah acak kontinu dengan pdf

Jika $Y=X^2$, tentukanlah pdf dari $Y$.

Pembahasan:

Perhatikan bahwa untuk $x < 0$ kita peroleh invers transformasi yakni $x_1=g_1^{-1} (y)=-\sqrt{y}$ dan $x_2=g_1^{-1} (y)=\sqrt{y}$ untuk $x > 0$. Namun, untuk $0 < y < 1$ terdapat dua titik dengan pdf tak nol, yakni $x_1=-\sqrt{y}$ dan $x_2=\sqrt{y}$; sedangkan untuk $1 < y < 4$ terdapat hanya satu titik dengan pdf tak nol, yakni $x_2=\sqrt{y}$. Dengan demikian pdf dari $Y$ adalah