Metode Statistika I   »   Kemencengan dan Keruncingan Data   ›  Koefisien Kemencengan Momen

Kemencengan Data

Koefisien Kemencengan Momen

Koefisien kemencengan momen (moment coefficent of skewness) didasarkan pada perbandingan antara momen ketiga dengan pangkat tiga suatu simpangan baku (standar deviasi).

Koefisien kemencengan momen (Pearson's moment coefficent of skewness) didasarkan pada perbandingan antara momen ketiga dengan pangkat tiga suatu simpangan baku (standar deviasi). Dalam literatur, koefisien kemencengan momen biasa dinotasikan dengan \( \alpha_3 \) atau \( \gamma_1 \).

Adapun rumus untuk koefisien kemencengan momen dapat dinyatakan sebagai berikut:

Rumus di atas dapat diperluas ke sebuah versi yang dapat dihitung dengan lebih mudah, yakni:

Apabila nilai \( \gamma_1 \) dikaitkan dengan keadaan suatu kurva atau distribusi, maka diperoleh tiga kondisi: (i) untuk distribusi yang simetris, maka nilai \( \gamma_1 = 0 \), (ii) untuk distribusi yang menceng ke kanan, maka \( \gamma_1 \) bernilai positif, dan (iii) \( \gamma_1 \) bernilai negatif untuk distribusi yang menceng ke kiri.

Untuk membantu mempermudah memahami definisi kemencengan, terlebih dahulu ada baiknya kita pahami apa yang dimaksud dengan momen asal (raw moment atau moments about the origin) dan momen terhadap rata-rata (central moments atau the moments about its mean) dari suatu peubah acak \(X\).

Momen asal ke-k dari suatu peubah \(X\) (the k-th raw moment of X) dinotasikan dengan \(E(X^k)\), yakni nilai harapan dari suatu peubah acak \(X\) yang dipangkatkan dengan \(k\). Momen asal pertama (\(E(X), \ k = 1\)) merupakan rata-rata dari suatu peubah acak dan biasanya dinotasikan dengan \(μ\).

Momen pusat ke-\(k\) dari suatu peubah acak \(X\) dinotasikan dengan \(E[(X-μ)^k]\), yakni nilai harapan dari deviasi suatu peubah acak \(X\) terhadap rata-ratanya yang dipangkatkan dengan \(k\). Momen \(E[(X-μ)^k]\) biasanya dinotasikan dengan \(μ_k\). Momen pusat kedua (\(k\) = 2) biasanya disebut varians \((σ^2)\) dan dengan menarik akar kuadrat dari \(σ^2\) diperoleh deviasi standar atau simpangan baku \((σ)\).

Rasio dari momen pusat ketiga terhadap pangkat tiga deviasi standar \((σ^3)\) disebut koefisien kemencengan momen Pearson (Pearson’s moment coefficient of skewness) atau biasa dituliskan saja koefisien kemencengan momen dan dinotasikan dengan \(γ_1\).

Rumus yang telah kita perluas di atas dinyatakan dalam momen asal pertama \((μ)\) atau rata-rata, momen asal ketiga \(E(X^3)\), dan momen pusat kedua \((σ^2)\) atau varians. Dengan adanya informasi nilai ketiga momen tersebut maka dengan mudah dapat diperoleh koefisien kemencengan momen, dan karenanya dapat ditentukan apakah suatu distribusi suatu peubah acak bersifat menceng kanan, menceng kiri, atau bahkan simetris.

Sebagai informasi tambahan, rasio dari momen pusat keempat terhadap pangkat empat deviasi standar \((σ^4)\), \( \ γ_2=\frac{μ_4}{σ^4}\), disebut kurtosis. Kita akan membahas ukuran ini secara lebih detail pada artikel yang lain.