Analisis Regresi   »   Regresi Polinomial   ›  Persamaan Model Polinomial

Analisis Regresi

Persamaan Model Polinomial

Model regresi polinomial bisa mengandung satu, dua atau lebih dari dua variabel bebas. Jika hanya terdapat satu variabel bebas, maka disebut model regresi polinomial sederhana dan jika terdapat lebih dari satu variabel bebas maka disebut model regresi polinomial berganda.

Pada artikel ini kita akan membahas model regresi polinomial yakni model regresi dengan model respons yang melengkung. Pertama, kita akan membahas beberapa model regresi polinomial yang umum digunakan. Kemudian dilanjutkan dengan dua kasus untuk mengilustrasikan beberapa masalah utama yang dihadapi dalam regresi polinomial.

Model regresi polinomial bisa mengandung satu, dua atau lebih dari dua variabel bebas. Jika hanya terdapat satu variabel bebas, maka disebut model regresi polinomial sederhana dan jika terdapat lebih dari satu variabel bebas maka disebut model regresi polinomial berganda.

Masing-masing dari variabel bebas dalam regresi polinomial bisa disajikan dalam berbagai bentuk pangkat. Kita mengilustrasikan beberapa dari kemungkinan model yang ada berikut ini.

Satu variabel bebas – Order Kedua

Model regresi polinomialnya berbentuk

$$Y_i=β_0+β_1 x_i+β_2 x_i^2+ε_i$$

di mana: $x_i=X_i-\overline{X}$

Persamaan di atas disebut model regresi polinomial orde kedua (second-order model) dengan satu variabel bebas karena variabel bebas tunggal muncul dalam bentuk pangkat pertama dan kedua. Perhatikan bahwa variabel bebas diekspresikan sebagai simpangan terhadap rata-rata yang dinyatakan dengan $x_i$.

Alasan penggunaan simpangan terhadap rata-rata dalam model regresi polinomial adalah bahwa $X, X^2$, dan bentuk pangkat yang lebih tinggi lainnya sering kali akan sangat berkorelasi. Hal ini, seperti yang telah kita jelaskan sebelumnya, bisa menyebabkan masalah penghitungan yang serius saat matriks $X’X$ diinverskan untuk mengestimasi koefisien regresi.

Selain itu, mengekspresikan variabel bebas sebagai simpangan dari rata-rata dapat mengurangi multikolinieritas secara substansial dan cenderung menghindari masalah penghitungan yang menyulitkan.

Koefisien dalam model regresi polinomial sering kali ditulis dalam bentuk yang sedikit berbeda, untuk merefleksikan pola dari pangkatnya. Perhatikan penulisan lain dari model regresi polinomial orde dua berikut.

$$Y_i = β_0 + β_1 x_i + β_{11} x_i^2 + ε_i$$

Koefisien regresi $β_0$ menyatakan rata-rata respons $Y$ saat $x=0$, misalnya saat $X=\overline{X}$. Koefisien regresi $β_1$ sering disebut koefisien efek linier dan $β_{11}$ sering disebut koefisien efek kuadratik.

Fungsi respon dari model regresi di atas adalah

$$E(Y) = β_0 + β_1 x_i + β_{11} x_i^2$$

yang merupakan sebuah parabola dan sering disebut sebagai fungsi respon kuadratik.

Satu variabel bebas – Orde Ketiga (Third Order)

Model regresi polinomial untuk orde ketiga atau model dalam bentuk kubik yaitu

$$Y_i=β_0+β_1 x_i+β_{11} x_i^2+β_{111} x_i^3+ε_i$$

di mana: $x_i=X_i-\overline{X}$

Fungsi respon untuk model regresi tersebut adalah

$$E(Y) = β_0+β_1 x_i+β_{11} x_i^2+β_{111} x_i^3$$

Satu variabel bebas – Orde yang lebih tinggi

Model polinomial dengan satu variabel bebas dalam bentuk orde yang lebih tinggi jarang digunakan. Hal ini terutama karena interpretasi koefisien yang rumit untuk model tersebut.

Dua Variabel Bebas – Orde Kedua

Model regresi polinomial orde kedua untuk dua variabel bebas diberikan oleh

$$Y_i=β_0+β_1 x_{i1}+β_2 x_{i2}+β_{11} x_{i1}^2+β_{22} x_{i2}^2+β_{12} x_{i1} x_{i2}+ε_i$$

di mana: $x_{i1}=X_{i1}-\overline{X}_1$ dan $x_{i2}=X_{i2}-\overline{X}_2$

Fungsi responnya adalah

$$E(Y) = β_0+β_1 x_{i1}+β_2 x_{i2}+β_{11} x_{i1}^2+β_{22} x_{i2}^2+β_{12} x_{i1} x_{i2}$$

Koefisien $β_{12}$ menyatakan efek interaksi antara $x_1$ dan $x_2$ yang sering disebut koefisien efek interaksi.

Tiga Variabel Bebas – Orde Kedua

Model regresi polinomial orde kedua dengan tiga variabel bebas adalah

$$Y_i = β_0 + β_1 x_{i1} + β_2 x_{i2} + β_3 x_{i3} + β_{11} x_{i1}^2 + β_{22} x_{i2}^2+β_{33} x_{i3}^2+β_{12} x_{i1} x_{i2}+β_{13} x_{i1} x_{i3} + β_{23} x_{i2} x_{i3} + ε_i$$

Koefisien $β_{12}, β_{13}$, dan $β_{23}$ merupakan koefisien efek interaksi untuk interaksi antara pasangan variabel bebas.