Contoh 1:

Tentukan \( \int \sin^2 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal integral ini kita bisa manfaatkan rumus identitas trigonometri berikut:

Dengan demikian, integral dari \( \sin^2 x \) adalah…

Contoh 2:

Tentukan \( \int \sin^3 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal integral ini kita bisa menjabarkan fungsi \( \sin^3 x \) menjadi \( \sin^2 x \cdot \sin x \) terlebih dahulu. Kemudian berdasarkan rumus identitas trigonometri, ganti \( \sin^2 x \) menjadi \( 1-\cos^2 x \). Kita peroleh berikut:

Dari hasil di atas, selesaikan integral menggunakan teknik integral substitusi dengan memisalkan \( u = \cos x \) sehingga diperoleh hasil berikut ini:

Contoh 3:

Tentukan \( \int \sin^4 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal integral trigonometri ini, kita uraikan dulu fungsi \( \sin^4 x \) menjadi \( (\sin^2 x)^2 \). Kemudian berdasarkan rumus identitas trigonometri, ganti \( \sin^2 x \) menjadi \( \frac{1}{2}(1-\cos 2x) \). Kita peroleh hasil berikut:

Catatan: Berdasarkan rumus identitas trigonometri, \( \cos^2 2x = \frac{1}{2}(1+\cos 4x) \).

Contoh 4:

Tentukan \( \int \sin^5 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal integral ini kita bisa menjabarkan fungsi \( \sin^5 x \) menjadi \( (\sin^2 x)^2 \cdot \sin x \) terlebih dahulu. Kemudian berdasarkan rumus identitas trigonometri, ganti \( \sin^2 x \) menjadi \( 1-\cos^2 x \). Kita peroleh berikut:

Dari hasil di atas, selesaikan integral menggunakan teknik integral substitusi dengan memisalkan \( u = \cos x \) sehingga diperoleh hasil berikut ini:

Contoh 5:

Tentukan \( \int \cos^2 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal integral ini kita akan manfaatkan rumus identitas trigonometri berikut:

Berdasarkan hasil yang diperoleh di atas, penyelesaian integral pada soal yaitu:

Contoh 6:

Tentukan \( \int \cos^3 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal integral ini kita bisa menjabarkan fungsi \( \cos^3 x \) menjadi \( \cos^2 x \cdot \cos x \) terlebih dahulu. Kemudian berdasarkan rumus identitas trigonometri, ganti \( \cos^2 x \) menjadi \( 1-\sin^2 x \). Kita peroleh berikut:

Dari hasil di atas, selesaikan integral menggunakan teknik integral substitusi dengan memisalkan \( u = \sin x \) sehingga diperoleh hasil berikut ini:

Contoh 7:

Tentukan \( \int \cos^4 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal integral trigonometri ini, kita uraikan dulu fungsi \( \cos^4 x \) menjadi \( (\cos^2 x)^2 \). Kemudian berdasarkan rumus identitas trigonometri, ganti \( \cos^2 x \) menjadi \( \frac{1}{2}(\cos 2x+1) \). Kita peroleh hasil berikut:

Catatan: Berdasarkan rumus identitas trigonometri, \( \cos^2 2x = \frac{1}{2}(1+\cos 4x) \).

Contoh 8:

Tentukan \( \int \cos^5 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal integral ini kita bisa menjabarkan fungsi \( \cos^5 x \) menjadi \( (\cos^2 x)^2 \cdot \cos x \) terlebih dahulu. Kemudian berdasarkan rumus identitas trigonometri, ganti \( \cos^2 x \) menjadi \( 1-\sin^2 x \). Kita peroleh berikut:

Dari hasil di atas, selesaikan integral menggunakan teknik integral substitusi dengan memisalkan \( u = \sin x \) sehingga diperoleh hasil berikut ini:

Contoh 9:

Tentukan \( \int \tan^2 x \ dx \).

Pembahasan:

Berdasarkan rumus identitas trigonometri, kita tahu bahwa \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \) sehingga kita peroleh berikut ini:

Contoh 10:

Tentukan \( \int \tan^3 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal integral ini kita bisa menjabarkan fungsi \( \tan^3 x \) menjadi \( \tan^2 x \cdot \tan x \) terlebih dahulu. Kemudian berdasarkan rumus identitas trigonometri, ganti \( \tan^2 x \) menjadi \( \sec^2 x - 1 \). Kita peroleh berikut:

Dari hasil di atas, sekarang kita perlu mencari dua integral. Untuk \( \int \tan x \ dx \) sudah pernah kita bahas di artikel lainnya di mana hasilnya yaitu \( \int \tan x \ dx = \ln|\sec x|+C \) dan untuk integral \( \int \sec^2 x \tan x \ dx \) dapat diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi dengan memisalkan \( u = \tan x \) sehingga kita peroleh berikut ini:

Contoh 11:

Tentukan \( \int \tan^4 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal integral ini kita bisa menjabarkan fungsi \( \tan^4 x \) menjadi \( \tan^2 x \cdot \tan^2 x \) terlebih dahulu. Kemudian berdasarkan rumus identitas trigonometri, ganti \( \tan^2 x \) menjadi \( \sec^2 x - 1 \). Kita peroleh berikut:

Dari hasil di atas, sekarang kita perlu mencari dua integral. Dalam Contoh 9, \( \int \tan^2 x \ dx = \tan x - x +C \) dan untuk integral \( \int \sec^2 x \tan^2 x \ dx \) dapat diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi dengan memisalkan \( u = \tan x \) sehingga kita peroleh berikut ini:

Contoh 12:

Tentukan \( \int \tan^5 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal integral ini kita bisa menjabarkan fungsi \( \tan^5 x \) menjadi \( \tan^2 x \cdot \tan^3 x \) terlebih dahulu. Kemudian berdasarkan rumus identitas trigonometri, ganti \( \tan^2 x \) menjadi \( \sec^2 x - 1 \). Kita peroleh berikut:

Dari hasil di atas, sekarang kita perlu mencari dua integral. Dalam Contoh 10, \( \int \tan^3 x \ dx = \frac{1}{2}\tan^2 x - \ln|\sec x| +C \) dan untuk integral \( \int \tan^3 x \sec^2 x \ dx \) dapat diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi dengan memisalkan \( u = \tan x \) sehingga kita peroleh berikut ini:

Contoh 13:

Tentukan \( \int \tan^6 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal integral ini kita bisa menjabarkan fungsi \( \tan^6 x \) menjadi \( \tan^2 x \cdot \tan^4 x \) terlebih dahulu. Kemudian berdasarkan rumus identitas trigonometri, ganti \( \tan^2 x \) menjadi \( \sec^2 x - 1 \). Kita peroleh berikut:

Dari hasil di atas, sekarang kita perlu mencari dua integral. Dalam Contoh 11, \( \int \tan^3 x \ dx = \frac{1}{3}\tan^3 x - \tan x + x + C \) dan untuk integral \( \int \tan^4 x \sec^2 x \ dx \) dapat diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi dengan memisalkan \( u = \tan x \) sehingga kita peroleh berikut ini:

Contoh 14:

Tentukan \( \int \csc^2 x \ dx \).

Pembahasan:

Contoh 15:

Tentukan \( \int \csc^3 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan integral ini kita uraikan fungsi \( \csc^3 x \) menjadi \( \csc x \cdot \csc^2 x \). Lalu berdasarkan rumus identitas trigonometri, ganti fungsi \( \csc^2 x \) menjadi \( (1+\cot^2 x) \). Kita peroleh hasil berikut:

Dari hasil di atas, sekarang kita akan mencari \( \int \csc x \ dx \) dan \( \int \csc x \cot^2 x \ dx \). Kita sudah pernah mencari integral \( \int \csc x \ dx \) di mana hasilnya yaitu \( \int \csc x \ dx = \ln|\csc x - \cot x| + C \) dan untuk integral \( \int \csc x \cot^2 x \ dx \) dapat kita selesaikan menggunakan teknik integral parsial dengan memisalkan \( u = \cot x \) dan \( dv = \csc x \cot x \ dx \) sehingga kita peroleh:

Dengan demikian, integral dari \( \csc^3 x \), yakni:

Contoh 16:

Tentukan \( \int \csc^4 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan integral ini kita uraikan fungsi \( \csc^4 x \) menjadi \( \csc^2 x \cdot \csc^2 x \) terlebih dahulu. Lalu berdasarkan rumus identitas trigonometri, ganti fungsi \( \csc^2 x \) menjadi \( (\cot^2 x + 1) \). Kita peroleh hasil berikut:

Dari hasil di atas, sekarang kita akan mencari \( \int \csc^2 x \ dx \) dan \( \int \cot^2 x \csc^2 x \ dx \). Dari Contoh 14 di atas \( \int \csc^2 x \ dx = -\cot x + C \) dan untuk integral \( \int \cot^2 x \csc^2 x \ dx \) dapat kita selesaikan menggunakan teknik integral substitusi dengan memisalkan \( u = \cot x \) sehingga kita peroleh:

Dengan demikian, integral dari \( \csc^4 x \), yakni:

Contoh 17:

Tentukan \( \int \csc^5 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan integral ini kita uraikan fungsi \( \csc^5 x \) menjadi \( \csc^3 x \cdot \csc^2 x \) terlebih dahulu. Kemudian selesaikan integral tersebut menggunakan teknik integral parsial dengan memisalkan \( u = \csc^3 x \) dan \( dv = \csc^2 x \ dx \). Kita peroleh hasil berikut:

Dari hasil di atas, kita peroleh berikut ini:

Dari Contoh 15 di atas, kita telah memperoleh hasil \( \int \csc^3 x \ dx \) sehingga integral dari \( \csc^5 x \), yakni:

Atau karena \( \int \csc^3 x \ dx \) juga sama dengan

maka, hasil yang kita peroleh sebelumnya juga dapat dituliskan menjadi:

Contoh 18:

Tentukan \( \int \csc^6 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan integral ini kita uraikan fungsi \( \csc^6 x \) menjadi \( (\csc^2 x)^2 \cdot \csc^2 x \) terlebih dahulu. Lalu berdasarkan rumus identitas trigonometri, ganti fungsi \( \csc^2 x \) menjadi \( (1+\cot^2 x) \). Kita peroleh hasil berikut:

Untuk menyelesaikan integral \( \int (1+\cot^2 x) \cdot \csc^2 x \ dx \), kita dapat menggunakan teknik integral substitusi dengan memisalkan \( u = \cot x \) sehingga kita peroleh:

Contoh 19:

Tentukan \( \int \sec^2 x \ dx \).

Pembahasan:

Contoh 20:

Tentukan \( \int \sec^3 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan integral ini kita uraikan fungsi \( \sec^3 x \) menjadi \( \sec x \cdot \sec^2 x \) terlebih dahulu. Kemudian selesaikan integral tersebut menggunakan teknik integral parsial dengan memisalkan \( u = \sec x \) dan \( dv = \sec^2 x \ dx \). Kita peroleh hasil berikut:

Dari hasil di atas, penyelesaian dari \( \int \sec^3 x \ dx \), yaitu:

Catatan: Hasil dari \( \int \sec x \ dx = \ln |\sec x + \tan x| + C \).

Contoh 21:

Tentukan \( \int \sec^4 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan integral ini kita uraikan fungsi \( \sec^4 x \) menjadi \( \sec^2 x \cdot \sec^2 x \) terlebih dahulu. Lalu berdasarkan rumus identitas trigonometri, ganti fungsi \( \sec^2 x \) menjadi \( (\tan^2 x + 1) \). Kita peroleh hasil berikut:

Dari hasil di atas, sekarang kita akan mencari \( \int \tan^2 x \sec^2 x \ dx \) dan \( \int \sec^2 x \ dx \). Dari Contoh 19, di atas \( \int \sec^2 x \ dx = \tan x + C \) dan untuk integral \( \int \tan^2 x \sec^2 x \ dx \) dapat kita selesaikan menggunakan teknik integral substitusi dengan memisalkan \( u = \tan x \) sehingga diperoleh:

Dengan demikian, integral dari \( \sec^4 x \), yakni:

Contoh 22:

Tentukan \( \int \sec^5 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan integral ini kita uraikan fungsi \( \sec^5 x \) menjadi \( \sec^3 x \cdot \sec^2 x \) terlebih dahulu. Kemudian selesaikan integral tersebut menggunakan teknik integral parsial dengan memisalkan \( u = \sec^3 x \) dan \( dv = \sec^2 x \ dx \). Kita peroleh hasil berikut:

Dari hasil di atas, kita peroleh berikut ini:

Dari Contoh 20 di atas, kita telah memperoleh hasil \( \int \sec^3 x \ dx \) sehingga integral dari \( \sec^5 x \), yakni:

Contoh 23:

Tentukan \( \int \sec^6 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan integral ini kita uraikan fungsi \( \sec^6 x \) menjadi \( (\sec^2 x)^2 \cdot \sec^2 x \) terlebih dahulu. Lalu berdasarkan rumus identitas trigonometri, ganti fungsi \( \sec^2 x \) menjadi \( (\tan^2 x + 1) \). Kita peroleh hasil berikut:

Untuk menyelesaikan integral \( \int (\tan^2 x + 1) \cdot \sec^2 x \ dx \), kita dapat menggunakan teknik integral substitusi dengan memisalkan \( u = \tan x \) sehingga kita peroleh:

Contoh 24:

Tentukan \( \int \cot^2 x \ dx \).

Pembahasan:

Dari rumus identitas trigonometri, kita tahu bahwa \( \cot^2 = \csc^2 x - 1 \) sehingga kita peroleh berikut ini:

Contoh 25:

Tentukan \( \int \cot^3 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan integral ini kita jabarkan fungsi \( \cot^3 x \) menjadi \( \cot x \cdot \cot^2 x \) terlebih dahulu. Lalu berdasarkan rumus identitas trigonometri, ganti \( \cot^2 x \) menjadi \( (\csc^2 x - 1) \). Kita peroleh hasil berikut:

Integral dari \( \cot x \) sama dengan \( \ln |\sin x| + C \) dan untuk \(\int \cot x \csc^2 x \ dx \) dapat diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi dengan memisalkan \( u = \cot x \) sehingga kita peroleh:

Contoh 26:

Tentukan \( \int \cot^4 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan integral ini kita jabarkan fungsi \( \cot^4 x \) menjadi \( \cot^2 x \cdot \cot^2 x \) terlebih dahulu. Lalu berdasarkan rumus identitas trigonometri, ganti \( \cot^2 x \) menjadi \( (\csc^2 x - 1) \). Kita peroleh hasil berikut:

Dari hasil di atas, ada dua integral yang akan kita selesaikan. Dalam Contoh 24, \( \int \cot^2 x \ dx = -\cot x - x + C \) dan untuk \( \int \cot^2 x \csc^2 x \ dx \) dapat diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi dengan memisalkan \( u = \cot x \) sehingga diperoleh:

Contoh 27:

Tentukan \( \int \cot^5 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan integral ini kita jabarkan fungsi \( \cot^5 x \) menjadi \( \cot^3 x \cdot \cot^2 x \) terlebih dahulu. Lalu berdasarkan rumus identitas trigonometri, ganti \( \cot^2 x \) menjadi \( (\csc^2 x - 1) \). Kita peroleh hasil berikut:

Dari hasil di atas, ada dua integral yang akan kita selesaikan. Dalam Contoh 25, \( \int \cot^3 x \ dx = -\frac{1}{2} \cot^2 x - \ln|\sin x| + C \) dan untuk \( \int \cot^3 x \csc^2 x \ dx \) dapat diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi dengan memisalkan \( u = \cot x \) sehingga diperoleh:

Contoh 28:

Tentukan \( \int \cot^6 x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan integral ini kita jabarkan fungsi \( \cot^6 x \) menjadi \( \cot^4 x \cdot \cot^2 x \) terlebih dahulu. Lalu berdasarkan rumus identitas trigonometri, ganti \( \cot^2 x \) menjadi \( (\csc^2 x - 1) \). Kita peroleh hasil berikut:

Dari hasil di atas, ada dua integral yang akan kita selesaikan. Dalam Contoh 26, \( \int \cot^4 x \ dx = -\frac{1}{3} \cot^3 x + \cot x + x + C \) dan untuk \( \int \cot^4 x \csc^2 x \ dx \) dapat diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi dengan memisalkan \( u = \cot x \) sehingga diperoleh: