www.jagostat.com
www.jagostat.com
Website Belajar Matematika & Statistika
Website Belajar Matematika & Statistika
Bahas Soal Matematika » Integral › Contoh Soal dan Pembahasan Integral Parsial Trigonometri
Contoh Soal dan Pembahasan Integral Parsial Trigonometri
Contoh 1:
Tentukan \( \int x \ \sin x \ dx \).
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat gunakan teknik integral parsial. Misalkan \(u = x\) dan \(dv = \sin x \ dx\) sehingga diperoleh
\begin{aligned} u = x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 1 \Leftrightarrow du &= dx \\[8pt] dv = \sin x \ dx \Leftrightarrow \int dv &= \int \sin x \ dx \\[8pt] v &= -\cos x \end{aligned}
Selanjutnya dari hasil di atas, kita peroleh berikut ini:
\begin{aligned} \int x \ \sin x \ dx &= \int u \ dv = uv - \int v \ du \\[8pt] &= x \cdot (-\cos x) - \int -\cos x \ dx \\[8pt] &= - x \cos x + \int \cos x \ dx \\[8pt] &= - x \cos x + \sin x + C \\[8pt] &= \sin x - x \cos x + C \end{aligned}
Contoh 2:
Tentukan \( \int x \ \cos x \ dx \).
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan gunakan teknik integral parsial. Misalkan \(u = x\) dan \(dv = \cos x \ dx\) sehingga diperoleh
\begin{aligned} u = x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 1 \Leftrightarrow du &= dx \\[8pt] dv = \cos x \ dx \Leftrightarrow \int dv &= \int \cos x \ dx \\[8pt] v &= \sin x \end{aligned}
Selanjutnya dari hasil di atas, kita peroleh berikut ini:
\begin{aligned} \int x \ \cos x \ dx &= \int u \ dv = uv - \int v \ du \\[8pt] &= x \cdot \sin x - \int \sin x \ dx \\[8pt] &= x \sin x - (-\cos x) + C \\[8pt] &= x \sin x + \cos x + C \end{aligned}
Contoh 3:
Tentukan \( \int x^2 \ \sin x \ dx \).
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan gunakan teknik integral parsial. Misalkan \(u = x^2\) dan \(dv = \sin \ dx\) sehingga diperoleh
\begin{aligned} u = x^2 \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 2x \Leftrightarrow du &= 2x \ dx \\[8pt] dv = \sin x \ dx \Leftrightarrow \int dv &= \int \sin x \ dx \\[8pt] v &= -\cos x \end{aligned}
Selanjutnya dari hasil di atas, kita peroleh berikut ini:
\begin{aligned} \int x^2 \sin x \ dx &= \int u \ dv = uv - \int v \ du \\[8pt] &= x^2 \cdot (-\cos x) - \int -\cos x \cdot 2x \ dx \\[8pt] &= - x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \ dx \end{aligned}
Untuk melanjutkan hasil di atas, kita perlu menyelesaikan integral x cos x dx terlebih dahulu. Kita bisa selesaikan integral tersebut menggunakan teknik integral parsial dengan memisalkan \(u = x\) dan \(dv = \cos x \ dx\) sehingga kita dapatkan berikut ini:
\begin{aligned} u = x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 1 \Leftrightarrow du &= dx \\[8pt] dv = \cos x \ dx \Leftrightarrow \int dv &= \int \cos x \ dx \\[8pt] v &= \sin x \end{aligned}
\begin{aligned} \int x \ \cos x \ dx &= \int u \ dv = uv - \int v \ du \\[8pt] &= x \cdot \sin x - \int \sin x \ dx \\[8pt] &= x \sin x - (-\cos x) + C \\[8pt] &= x \sin x + \cos x + C \end{aligned}
Dengan melanjutkan hasil yang kita peroleh sebelumnya kita peroleh jawaban dari integral pada soal, yaitu:
\begin{aligned} \int x^2 \sin x \ dx &= \int u \ dv = uv - \int v \ du \\[8pt] &= x^2 \cdot (-\cos x) - \int -\cos x \cdot 2x \ dx \\[8pt] &= - x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \ dx \\[8pt] &= - x^2 \cos x + 2 (x \sin x + \cos x) + C \\[8pt] &= - x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C \end{aligned}
Contoh 4:
Tentukan \( \int e^x \ \sin x \ dx \).
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan gunakan teknik integral parsial. Misalkan \(u = e^x\) dan \(dv = \sin x \ dx\) sehingga diperoleh
\begin{aligned} u = e^x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = e^x \Leftrightarrow du &= e^x \ dx \\[8pt] dv = \sin x \ dx \Leftrightarrow \int dv &= \int \sin x \ dx \\[8pt] v &= -\cos x \ dx \end{aligned}
Selanjutnya dari hasil di atas, kita peroleh berikut ini:
\begin{aligned} \int e^x \sin x \ dx &= \int u \ dv = uv - \int v \ du \\[8pt] &= e^x \cdot (-\cos x) - \int -\cos x \cdot e^x \ dx \\[8pt] &= -e^x \cos x + \int e^x \cos x \ dx \end{aligned}
Untuk melanjutkan hasil di atas, kita perlu menyelesaikan \(\int e^x \cos x \ dx\) terlebih dahulu. Kita bisa selesaikan integral tersebut menggunakan teknik integral parsial dengan memisalkan \(u = e^x\) dan \(dv = \cos x \ dx\) sehingga kita dapatkan berikut ini:
\begin{aligned} u = e^x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = e^x \Leftrightarrow du &= e^x \ dx \\[8pt] dv = \cos x \ dx \Leftrightarrow \int dv &= \int \cos x \ dx \\[8pt] v &= \sin x \end{aligned}
Dengan melanjutkan hasil yang kita peroleh sebelumnya kita peroleh jawaban dari integral pada soal, yaitu:
\begin{aligned} \int e^x \sin x \ dx &= \int u \ dv = uv - \int v \ du \\[8pt] &= e^x \cdot (-\cos x) - \int -\cos x \cdot e^x \ dx \\[8pt] &= -e^x \cos x + \int e^x \cos x \ dx \\[8pt] &= -e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \sin x \ dx \\[8pt] \int e^x \sin x \ dx + \int e^x \sin x \ dx &= e^x \sin x - e^x \cos x \\[8pt] 2 \int e^x \sin x \ dx &= e^x \sin x - e^x \cos x \\[8pt] \int e^x \sin x \ dx &= \frac{1}{2} (e^x \sin x - e^x \cos x) + C \\[8pt] &= \frac{e^x}{2} \ (\sin x - \cos x) + C \end{aligned}
Contoh 5:
Tentukan \( \int e^x \ \cos x \ dx \).
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan gunakan teknik integral parsial. Misalkan \(u = \cos x\) dan \(dv = e^x \ dx\) sehingga diperoleh
\begin{aligned} u = \cos x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = -\sin x \Leftrightarrow du &= -\sin x \ dx \\[8pt] dv = e^x \ dx \Leftrightarrow \int dv &= \int e^x \ dx \\[8pt] v &= e^x \end{aligned}
Selanjutnya dari hasil di atas, kita peroleh berikut ini:
\begin{aligned} \int e^x \cos x \ dx &= \int u \ dv = uv - \int v \ du \\[8pt] &= \cos x \cdot e^x - \int e^x \cdot (-\sin x) \ dx \\[8pt] &= e^x \cos x + \int e^x \sin x \ dx \end{aligned}
Untuk melanjutkan hasil di atas, kita perlu menyelesaikan \(\int e^x \sin x \ dx\) terlebih dahulu. Kita bisa selesaikan integral tersebut menggunakan teknik integral parsial dengan memisalkan \(u = \sin x\) dan \(dv = e^x \ dx\) sehingga kita dapatkan berikut ini:
\begin{aligned} u = \sin x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = \cos x \Leftrightarrow du &= \cos x \ dx \\[8pt] dv = e^x \ dx \Leftrightarrow \int dv &= \int e^x \ dx \\[8pt] v &= e^x \end{aligned}
Dengan melanjutkan hasil yang kita peroleh sebelumnya kita peroleh jawaban dari integral pada soal, yaitu:
\begin{aligned} \int e^x \cos x \ dx &= \int u \ dv = uv - \int v \ du \\[8pt] &= \cos x \cdot e^x - \int e^x \cdot (-\sin x) \ dx \\[8pt] &= e^x \cos x + \int e^x \sin x \ dx \\[8pt] &= e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \ dx \\[8pt] \int e^x \cos x \ dx + \int e^x \cos x \ dx &= e^x \cos x + e^x \sin x \\[8pt] 2 \int e^x \cos x \ dx &= e^x \cos x + e^x \sin x \\[8pt] \int e^x \cos x \ dx &= \frac{1}{2} (e^x \cos x + e^x \sin x) + C \\[8pt] &= \frac{e^x}{2} \ (\cos x + \sin x) + C \end{aligned}
Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.
Inside of every problem lies an opportunity.