Contoh Soal dan Pembahasan Integral Trigonometri

Bahas Soal Matematika » Integral › Contoh Soal dan Pembahasan Integral Trigonometri

Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Contoh Soal dan Pembahasan Integral Trigonometri

Sebagaimana kita ketahui bahwa fungsi dalam integral (integran) bisa memuat berbagai jenis fungsi seperti fungsi aljabar, trigonometri, logaritma, dan sebagainya. Pada artikel ini kita akan secara khusus membahas mengenai integral yang melibatkan fungsi trigonometri. Di sini kita tidak akan menjelaskan lagi konsep dasar integral secara terperinci karena sudah pernah dibahas di beberapa artikel sebelumnya di website ini.

Dalam menyelesaikan integral, ada beberapa teknik atau metode yang bisa digunakan seperti teknik substitusi, parsial, dan sebagainya. Nah, kita juga bisa terapkan beberapa teknik integral tersebut untuk menyelesaikan soal integral fungsi trigonometri. Tentu saja, teknik integral apa yang digunakan akan sangat bergantung pada jenis soal yang ingin diselesaikan. Kadang kala, kita akan perlu menggunakan kombinasi dari beberapa teknik integral tersebut secara bersamaan. Sekali lagi, kita tidak akan membahas beberapa metode integral tersebut di sini karena sudah pernah kita bahas sebelumnya.

Dalam setiap soal matematika, selalu ada tingkatannya mulai dari yang mudah, sedang, dan sulit. Begitu pula dengan soal integral fungsi trigonometri ini. Beberapa soal bisa dikerjakan dengan sangat mudah tanpa bantuan rumus-rumus, tetapi ada juga soal yang membutuhkan waktu penyelesaian cukup lama. Nah, untuk memperlancar kamu dalam menjawab soal integral trigonometri ini, sebaiknya kamu memahami beberapa rumus penting terkait integral trigonometri berikut ini.

Dari beberapa rumus integral yang diberikan di atas, kamu mungkin merasa terlalu banyak rumus yang harus dihafalkan untuk bisa mengerjakan integral fungsi trigonometri. Sebenarnya, jika kamu paham bagaimana asal usul rumus tersebut diperoleh, kamu tidak perlu menghafalkan rumus-rumus tersebut sama sekali karena sudah ada di ingatan kamu.

Setelah memahami penjelasan di atas, sekarang kamu bisa memperdalam pemahaman kamu tentang integral fungsi trigonometri dengan latihan mengerjakan beberapa soal yang diberikan berikut ini. Ingat: Practice makes perfect. Semoga bermanfaat.

Contoh 1:

Tentukan \( \int x \ \sin x \ dx \).

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat gunakan teknik integral parsial. Misalkan \(u = x\) dan \(dv = \sin x \ dx\) sehingga diperoleh

\begin{aligned} u = x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 1 \Leftrightarrow du &= dx \\[8pt] dv = \sin x \ dx \Leftrightarrow \int dv &= \int \sin x \ dx \\[8pt] v &= -\cos x \end{aligned}

Selanjutnya dari hasil di atas, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} \int x \ \sin x \ dx &= \int u \ dv = uv - \int v \ du \\[8pt] &= x \cdot (-\cos x) - \int -\cos x \ dx \\[8pt] &= - x \cos x + \int \cos x \ dx \\[8pt] &= - x \cos x + \sin x + C \\[8pt] &= \sin x - x \cos x + C \end{aligned}

Contoh 2: UN MTK IPA 2016

Hasil dari \( \int \sin^5 2x \cos 2x \ dx = \cdots \)

\( -\frac{1}{5} \sin^6 2x + C \)
\( -\frac{1}{10} \sin^6 2x + C \)
\( -\frac{1}{12} \sin^6 2x + C \)
\( \frac{1}{12} \sin^6 2x + C \)
\( \frac{1}{10} \sin^6 2x + C \)

Pembahasan:

Kita bisa selesaikan soal ini menggunakan teknik integral substitusi dengan memisalkan \(u = \sin 2x\) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} u = \sin 2x &\Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 2 \cos 2x \\[8pt] &\Leftrightarrow dx = \frac{1}{2 \cos 2x} \ du \end{aligned}

Selanjutnya, substitusi hasil di atas ke soal integral, diperoleh:

\begin{aligned} \int \sin^5 2x \cos 2x \ dx &= \int u^5 \cos 2x \cdot \frac{1}{2\cos 2x} \ du \\[8pt] &= \frac{1}{2} \int u^5 \ du \\[8pt] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}u^6 + C \\[8pt] &= \frac{1}{12}\sin^6 2x+C \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 3: EBTANAS Matematika SMA IPA 1990

Hasil dari \( \int (x^2+1) \cos x \ dx = \cdots \).

\( x^2 \sin x + 2x \cos x + C \)
\( (x^2-1) \sin x + 2x \cos x + C \)
\( (x^2+3) \sin x - 2x \cos x + C \)
\( 2x^2 \cos x + 2x^2 \sin x + C \)
\( 2x \sin x - (x^2-1) \cos x + C \)

Pembahasan:

Kita bisa selesaikan soal ini menggunakan teknik integral parsial. Misalkan \( u = x^2 + 1 \) dan \( dv = \cos x \ dx \) sehingga \( \int (x^2+1) \cos x \ dx = \int u \ dv \) dan kita peroleh hasil berikut:

\begin{aligned} u = x^2+1 \Leftrightarrow du &= 2x \ dx \\[8pt] dv = \cos x \ dx \Leftrightarrow v &= \int \cos x \ dx \\[8pt] &= \sin x \end{aligned}

Dari hasil di atas, kita peroleh:

\begin{aligned} \int u \ dv &= uv-\int v \ du \\[8pt] \int (x^2+1) \cos x \ dx &= (x^2+1) \sin x - \int \sin x \cdot 2x dx \\[8pt] &= (x^2+1)\sin x - 2 \int x \sin x \ dx \\[8pt] &= (x^2+1) \sin x - 2 \left( -x \cos x - \int -\cos x \ dx \right) \\[8pt] &= x^2 \sin x + \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C \\[8pt] &= x^2 \sin x - \sin x + 2x \cos x + C \\[8pt] &= (x^2-1) \sin x + 2x \cos x + C \end{aligned}

Jawaban B.

Baca juga:

Macam-macam rumus identitas trigonometri

Contoh 4: EBTANAS Matematika SMA IPA 1992

Hasil dari \( \int x \cos(2x-1) \ dx = \cdots \).

\( x \sin(2x-1) + \frac{1}{2} \cos(2x-1) + C \)
\( x \sin(2x-1) - \frac{1}{4} \cos(2x-1) + C \)
\( \frac{1}{2} x \sin(2x-1) + \frac{1}{4} \cos(2x-1) + C \)
\( \frac{1}{2} x \sin(2x-1) - \frac{1}{2} \cos(2x-1) + C \)
\( \frac{1}{2} x \sin(2x-1) + \frac{1}{2} \cos(2x-1) + C \)

Pembahasan:

Soal integral ini bisa kita selesaikan menggunakan teknik integral parsial dengan memisalkan \( u = x \) dan \( dv = \cos(2x-1) \ dx \) sehingga \( \int x \cos(2x-1) \ dx = \int u \ dv \) dan kita peroleh berikut:

\begin{aligned} u = x \Leftrightarrow du &= dx \\[8pt] dv = \cos x \ dx \Leftrightarrow v &= \int \cos(2x-1) \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}\sin(2x-1) \end{aligned}

Dari hasil di atas, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} \int u \ dv &= uv-\int v \ du \\[8pt] \int x \cos(2x-1) \ dx &= x \cdot \frac{1}{2}\sin(2x-1) - \int \frac{1}{2}\sin(2x-1) \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}x \sin(2x-1)-\frac{1}{2} \left( - \frac{1}{2} \cos(2x-1) \right) + C \\[8pt] &= \frac{1}{2}x \sin(2x-1)+\frac{1}{4} \cos(2x-1) + C \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 5: EBTANAS Matematika SMA IPA 1996

Hasil dari \( \int (3x+1) \cos 2x \ dx = \cdots \)

\( \frac{1}{2}(3x+1) \sin 2x + \frac{3}{4} \cos 2x + C \)
\( \frac{1}{2}(3x+1) \sin 2x - \frac{3}{4} \cos 2x + C \)
\( \frac{1}{2}(3x+1) \sin 2x + \frac{3}{2} \cos 2x + C \)
\( -\frac{1}{2}(3x+1) \sin 2x + \frac{3}{2} \cos 2x + C \)
\( -\frac{1}{2}(3x+1) \sin 2x + \frac{3}{4} \cos 2x + C \)

Pembahasan:

Kita bisa selesaikan soal integral ini menggunakan metode integral parsial dengan memisalkan terlebih dahulu \( u = (3x+1) \) dan \( dv = \cos 2x \ dx \) sehingga \( \int (3x+1) \cos 2x \ dx = \int u \ dv \) dan kita peroleh berikut:

\begin{aligned} u = (3x+1) \Leftrightarrow du &= 3 \ dx \\[8pt] dv = \cos 2x \ dx \Leftrightarrow v &= \int \cos 2x \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}\sin 2x \end{aligned}

Dari hasil di atas, kita peroleh penyelesaian untuk soal integral ini, yaitu:

\begin{aligned} \int u \ dv &= uv-\int v \ du \\[8pt] \int (3x+1) \cos 2x \ dx &= (3x+1) \cdot \frac{1}{2} \sin 2x - \int \frac{1}{2} \sin 2x \cdot 3 \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}(3x+1) \sin 2x - \frac{3}{2} \int \sin 2x \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}(3x+1) \sin 2x + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos 2x + C \\[8pt] &= \frac{1}{2}(3x+1) \sin 2x + \frac{3}{4} \cos 2x + C \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 6: EBTANAS Matematika SMA IPA 1997

Nilai \( \displaystyle \int x \sin(x^2+1) \ dx = \cdots \)

\( -\cos(x^2+1) + C \)
\( \cos(x^2+1) + C \)
\( -\frac{1}{2} \cos(x^2+1) + C \)
\( \frac{1}{2} \cos(x^2+1) + C \)
\( -2 \cos(x^2+1) + C \)

Pembahasan:

Kita bisa selesaikan soal integral ini menggunakan teknik substitusi. Misalkan \( u = x^2+1 \) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} u = x^2+1 \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= 2x \\[8pt] dx &= \frac{du}{2x} \end{aligned}

Dari hasil di atas, kita peroleh penyelesaian untuk soal integral ini, yaitu:

\begin{aligned} \int x \sin(x^2+1) \ dx &= \int x \sin u \cdot \frac{du}{2x} \\[8pt] &= \frac{1}{2} \int \sin u \ du \\[8pt] &= \frac{1}{2} (-\cos u) + C \\[8pt] &= -\frac{1}{2} \cos(x^2+1) + C \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 7: EBTANAS Matematika SMA IPA 1990

Nilai \( \displaystyle \int_0^{ \frac{\pi}{6} } \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) \ dx = \cdots \)

\( -\frac{1}{4} \)
\( -\frac{1}{8} \)
\( \frac{1}{8} \)
\( \frac{1}{4} \)
\( \frac{3}{8} \)

Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal ini, kita perlu mengingat rumus identitas trigonometri berikut:

\begin{aligned} \sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2}\sin(A+B)+\frac{1}{2}\sin(A-B) \end{aligned}

Identitas trigonometri di atas akan kita gunakan untuk menyederhanakan fungsi dalam soal integral. Perhatikan berikut ini:

\begin{aligned} \int_0^{ \frac{\pi}{6} } \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) \ dx &= \int_0^{30^\circ} \sin(x+60^\circ) \cos(x+60^\circ) \ dx \\[8pt] &= \int_0^{30^\circ} \left( \frac{1}{2} \sin(2x+120^\circ) + \frac{1}{2} \sin (0) \right) \ dx \\[8pt] &= \int_0^{30^\circ} \frac{1}{2} \sin(2x+120^\circ) \ dx = \frac{1}{2} \int_0^{30^\circ} \sin(2x+120^\circ) \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x+120^\circ) \right]_0^{30^\circ} \\[8pt] &= \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2}\cos(60^\circ+120^\circ) + \frac{1}{2} \cos(0^\circ+120^\circ) \right] \\[8pt] &= \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} \cos (180^\circ) + \frac{1}{2} \cos(120^\circ) \right] \\[8pt] &= \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2}(-1)+\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \right) \right] \\[8pt] &= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}-\frac{1}{4} \right] \\[8pt] &= \frac{1}{8} \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 8: UN Matematika SMA IPA 2005

Hasil dari \( \int 3x \cos 2x \ dx = \cdots \)

\( 3x \sin 2x + 3 \cos 2x + C \)
\( 3x \sin 2x + \cos 2x + C \)
\( -\frac{3}{2}x \sin 2x - \frac{3}{4} \cos 2x + C \)
\( \frac{3}{2}x \sin 2x + \frac{3}{4} \cos 2x + C \)
\( \frac{3}{2}x \sin 2x - \frac{3}{4} \cos 2x + C \)

Pembahasan:

Soal integral ini bisa diselesaikan menggunakan teknik integral parsial. Misalkan \( u = 3x \) dan \( dv = \cos 2x \ dx \) sehingga diperoleh berikut ini:

\begin{aligned} u = 3x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= 3 \Leftrightarrow du = 3 \ dx \\[8pt] dv = \cos 2x \ dx \Leftrightarrow v &= \int \cos 2x \ dx \\[8pt] v &= \frac{1}{2}\sin 2x \\[8pt] \int 3x \cos 2x \ dx &= \int u \ dv = uv-\int v \ du \\[8pt] &= 3x \cdot \frac{1}{2}\sin 2x - \int \frac{1}{2}\sin 2x \cdot 3 \ dx \\[8pt] &= \frac{3}{2}x \sin 2x-\frac{3}{2} \int \sin 2x \ dx \\[8pt] &= \frac{3}{2}x \sin 2x-\frac{3}{2} \cdot \left( -\frac{1}{2}\cos 2x \right) + C \\[8pt] &= \frac{3}{2}x \sin 2x+\frac{3}{4}\cos 2x + C \end{aligned}

Jawaban D.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.