Statistika Matematika II   »   Estimasi Titik   ›   Metode Maksimum Likelihood (MLE): Distribusi Normal

Estimasi Titik

Metode Maksimum Likelihood (MLE): Distribusi Normal

Pada artikel ini kita akan gunakan metode estimasi maksimum likelihood untuk memperoleh estimator atau penduga bagi parameter distribusi normal.

---

Dalam statistika, dikenal beberapa metode estimasi parameter populasi seperti metode maksimum likelihood, metode bayesian, dan metode momen. Salah satu metode estimasi yang cukup populer dan sering diaplikasikan dalam berbagai penelitian yaitu metode maksimum likelihood. Gagasan dari metode ini yaitu mencari estimator atau penduga bagi parameter populasi yang dapat memaksimalkan fungsi likelihood.

Pada artikel ini kita akan menggunakan metode estimasi maksimum likelihood atau biasa disingkat metode mle (maximum likelihood estimation) untuk memperoleh estimator atau penduga bagi parameter suatu populasi yang berdistribusi normal.

Misalkan \(X_1,…,X_n\) adalah sampel acak (random samples) dari populasi yang berdistribusi normal dengan parameter rata-rata \(μ\) dan varians \(σ^2\), yakni \(X_i \sim N(μ, σ^2)\). Dengan menggunakan metode maksimum likelihood atau metode mle, tentukan estimator atau penduga titik bagi parameter \(μ\) dan \(σ^2\).

Pembahasan:

Kita tahu bahwa fungsi kepadatan peluang (probability density function, pdf) dari distribusi normal dengan parameter \(μ\) dan \(σ^2\), yaitu:

Untuk mencari estimator bagi parameter distribusi normal menggunakan metode mle, kita perlu tentukan dulu fungsi likelihoodnya, yakni:

Setelah itu, kita cari \(ln \ L(θ)\) yakni:

Selanjutnya yaitu memaksimumkan fungsi \(ln \ L(\mu, \sigma)\) yang diperoleh di atas dengan cara mencari turunan pertama dari fungsi tersebut masing-masing terhadap \(\mu\) dan \(\sigma\) dan menyamakan hasil turunan yang diperoleh dengan nol. Kemudian kita selesaikan persamaan untuk mendapatkan estimator yang diinginkan.

Dari hasil penghitungan diperoleh turunan pertama terhadap \(\mu\) dan \(\sigma\), yaitu:

Dengan menyamakan hasil turunan pertama terhadap \(\mu\) ini dengan nol dan menyelesaikan persamaan tersebut diperoleh estimator atau penduga bagi parameter \(μ\), yakni:

Begitu pula, dengan menyamakan hasil turunan pertama terhadap \(\sigma\) ini dengan nol dan menyelesaikan persamaan tersebut diperoleh estimator atau penduga bagi parameter \(σ^2\), yakni:

Jadi, berdasarkan metode maksimum likelihood, estimator atau penduga bagi paramater \(μ\) dan \(σ^2\) dari suatu distribusi normal, yaitu:

Seperti sudah disinggung di awal bahwa metode estimasi lainnya dikenal dengan metode momen (method of moments estimation). Dengan menggunakan metode momen, kita peroleh estimator bagi parameter distribusi normal yang mana sama dengan metode maksimum likelihood, yakni:

Perhatikan bahwa dalam kasus ini, baik metode momen maupun metode maksimum likelihood memberikan hasil estimator titik yang sama.

Cukup sekian penjelasan mengenai penggunaan metode MLE untuk mengestimasi parameter distribusi normal yang tidak diketahui. Semoga bermanfaat.