JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Statistika Matematika II » Estimasi Titik › Metode Maksimum Likelihood (MLE): Distribusi Normal
Estimasi Titik

Metode Maksimum Likelihood (MLE): Distribusi Normal

Pada artikel ini kita akan gunakan metode estimasi maksimum likelihood untuk memperoleh estimator atau penduga bagi parameter distribusi normal.


Oleh: Tju Ji Long · Statistisi

Dalam statistika, dikenal beberapa metode estimasi parameter populasi seperti metode maksimum likelihood, metode bayesian, dan metode momen. Salah satu metode estimasi yang cukup populer dan sering diaplikasikan dalam berbagai penelitian yaitu metode maksimum likelihood. Gagasan dari metode ini yaitu mencari estimator atau penduga bagi parameter populasi yang dapat memaksimalkan fungsi likelihood.

Pada artikel ini kita akan menggunakan metode estimasi maksimum likelihood atau biasa disingkat metode mle (maximum likelihood estimation) untuk memperoleh estimator atau penduga bagi parameter suatu populasi yang berdistribusi normal.

Misalkan \(X_1,…,X_n\) adalah sampel acak (random samples) dari populasi yang berdistribusi normal dengan parameter rata-rata \(μ\) dan varians \(σ^2\), yakni \(X_i \sim N(μ, σ^2)\). Dengan menggunakan metode maksimum likelihood atau metode mle, tentukan estimator atau penduga titik bagi parameter \(μ\) dan \(σ^2\).

Pembahasan:

Kita tahu bahwa fungsi kepadatan peluang (probability density function, pdf) dari distribusi normal dengan parameter \(μ\) dan \(σ^2\), yaitu:

distribusi normal

Untuk mencari estimator bagi parameter distribusi normal menggunakan metode mle, kita perlu tentukan dulu fungsi likelihoodnya, yakni:

fungsi likelihood distribusi normal

Setelah itu, kita cari \(ln \ L(θ)\) yakni:

metode mle distribusi normal

Selanjutnya yaitu memaksimumkan fungsi \(ln \ L(\mu, \sigma)\) yang diperoleh di atas dengan cara mencari turunan pertama dari fungsi tersebut masing-masing terhadap \(\mu\) dan \(\sigma\) dan menyamakan hasil turunan yang diperoleh dengan nol. Kemudian kita selesaikan persamaan untuk mendapatkan estimator yang diinginkan.

Dari hasil penghitungan diperoleh turunan pertama terhadap \(\mu\) dan \(\sigma\), yaitu:

metode mle distribusi normal

Dengan menyamakan hasil turunan pertama terhadap \(\mu\) ini dengan nol dan menyelesaikan persamaan tersebut diperoleh estimator atau penduga bagi parameter \(μ\), yakni:

metode mle distribusi normal

Begitu pula, dengan menyamakan hasil turunan pertama terhadap \(\sigma\) ini dengan nol dan menyelesaikan persamaan tersebut diperoleh estimator atau penduga bagi parameter \(σ^2\), yakni:

metode mle distribusi normal

Jadi, berdasarkan metode maksimum likelihood, estimator atau penduga bagi paramater \(μ\) dan \(σ^2\) dari suatu distribusi normal, yaitu:

metode mle distribusi normal

Seperti sudah disinggung di awal bahwa metode estimasi lainnya dikenal dengan metode momen (method of moments estimation). Dengan menggunakan metode momen, kita peroleh estimator bagi parameter distribusi normal yang mana sama dengan metode maksimum likelihood, yakni:

metode momen distribusi normal

Perhatikan bahwa dalam kasus ini, baik metode momen maupun metode maksimum likelihood memberikan hasil estimator titik yang sama. Namun, dalam banyak kasus estimator yang diperoleh bisa berbeda.

Artikel Terkait

Anda hanya hidup sekali, tetapi jika Anda melakukannya dengan benar, sekali itu cukup.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: