JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Statistika Matematika II » Estimasi Interval › Metode Kuantitas Pivot
Confidence Interval

Metode Kuantitas Pivot

Dalam banyak kasus, kita tidak hanya menginginkan estimasi atau pendugaan titik melainkan juga estimasi interval. Salah satu metode untuk memperoleh estimasi interval dikenal dengan metode kuantitas pivot.


Oleh: Tju Ji Long · Statistisi

Kita telah membahas mengenai estimasi atau pendugaan titik pada beberapa artikel sebelumnya serta kriteria pendugaan yang ideal. Dalam banyak kasus, kita tidak hanya menginginkan estimasi titik melainkan juga estimasi selang atau interval (confidence interval).

Salah satu metode untuk memperoleh estimasi interval dikenal dengan metode kuantitas pivot. Berikut adalah beberapa definisi terkait metode kuantitas pivot.

Definisi:

Jika \(Q=q(X_1,…,X_n; θ)\) adalah peubah acak (random variables) yang hanya merupakan fungsi dari \(X_1,…,X_n\) dan \(θ\), maka \(Q\) disebut kuantitas pivot jika distribusinya tidak tergantung pada \(θ\) atau parameter lain yang tidak diketahui.

Definisi:

Jika \(Q=q(X_1, …, X_n; θ)\) adalah kuantitas pivot dan memiliki pdf, maka untuk setiap \(0 < γ < 1\) akan terdapat \(q_1\) dan \(q_2\) yang tergantung pada \(γ\) sehingga \(P[q_1 < Q < q_2]=γ\).

Location and Scale Parameter

Definisi:

  1. Parameter \(θ\) adalah location parameter jika bentuk pdf nya \(f(x; θ)=f_0 (x-θ)\).
  2. Parameter \(θ\) adalah scale parameter jika bentuk pdf nya \(f(x; θ)= \frac{1}{θ} f_o \left(\frac{x}{θ}\right)\).
  3. Parameter \(θ_1\) dan \(θ_2\) adalah location scale parameter jika bentuk pdf nya \(f(x;θ)=\left(\frac{1}{θ_2}\right) f_0 \Big[\frac{x-θ_1}{θ_2}\Big]\).

Jika \(\hat{θ}_{MLE}\) nya ada maka “mereka” dapat digunakan untuk membentuk kuantitas pivot.

Teorema:

Misalkan \(X_1,…,X_n\) adalah sampel acak dari distribusi dengan pdf \(f(x;θ)\) dari \(θ \ ϵ \ Ω\) dan asumsikan bahwa \(\hat{θ}_{MLE}\) ada.

  1. Jika \(θ\) adalah location parameter, maka \(Q=\hat{θ}-θ\) adalah kuantitas pivot
  2. Jika \(θ\) adalah scale parameter, maka \(Q=\hat{θ}⁄θ\) adalah kuantitas pivot
  3. Jika \(θ_1\) dan \(θ_2\) adalah location scale parameter, maka \(Q=(\hat{θ}_1-θ_1)⁄\hat{θ}_2 \) adalah kuantitas pivot untuk \(θ_1\) dan \(Q=\hat{θ}_2⁄θ_2\) adalah kuantitas pivot untuk \(θ_2\).

Langkah:

  1. Dari sampel acak \(X_1,…, X_n\) tentukan estimator titik untuk \(θ\).
  2. Cari bentuk kuantitas pivot.
  3. Interval keyakinan (confidence interval) dapat diturunkan dari poin(2).

Note:

Kadang kita perlu melakukan modifikasi pada kuantitas pivot agar kuantitas pivot tersebut mengikuti distribusi tertentu.

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1:

Misalkan \(X_1, X_2, ...,X_n\) adalah sampel acak yang berdistribusi eksponensial dengan parameter \(θ\) (\( X_i \sim EXP(θ) \)). Dengan metode kuantitas pivot, tentukan confidence interval 100γ% untuk \(θ\) !

Pembahasan:

Pdf dari distribusi eksponensial yaitu

Gambar

dan karena pdf-nya berupa bentuk \(f(x; θ)= \frac{1}{θ} f_o \left(\frac{x}{θ}\right)\), maka parameter \(θ\) merupakan scale parameter sehingga bentuk kuantitas pivotnya adalah \(Q=\hat{θ}⁄θ\).

Selanjutnya, dengan menggunakan metode maximum likelihood diperoleh estimator bagi \(θ\) yaitu \(\hat{θ}_{MLE}=\overline{x}\) sehingga kuantitas pivotnya dapat dituliskan kembali sebagai

Gambar

Dengan melakukan sedikit modifikasi akan diperoleh

Gambar

Fungsi \(f(q)\) tidak mengandung parameter \(θ\), sehingga \(Q\) adalah kuantitas pivot. Dengan demikian, confidence interval \(100γ\%\) bagi \(θ\) yaitu

Gambar

Contoh 2:

Misalkan \(X_1, X_2, ...,X_n\) adalah sampel acak yang berdistribusi Gamma dengan parameter 2 dan \(θ\) (\( X_i \sim Gamma(2,θ) \)). Dengan metode kuantitas pivot, tentukan confidence interval 100γ% untuk \(θ\) !

Pembahasan:

Pdf dari distribusi Gamma yaitu

Gambar

dan karena pdf-nya berupa bentuk \(f(x; θ)= \frac{1}{θ} f_o \left(\frac{x}{θ}\right)\), maka parameter \(θ\) merupakan scale parameter sehingga bentuk kuantitas pivotnya adalah \(Q=\hat{θ}⁄θ\).

Selanjutnya, dengan menggunakan metode maximum likelihood diperoleh estimator bagi \(θ\) yaitu \(\hat{θ}_{MLE}=\overline{x}/2\) sehingga kuantitas pivotnya dapat dituliskan kembali sebagai

Gambar

Dengan melakukan sedikit modifikasi akan diperoleh

Gambar

Fungsi \(f(q)\) tidak mengandung parameter \(θ\), sehingga \(Q\) adalah kuantitas pivot. Dengan demikian, confidence interval \(100γ\%\) bagi \(θ\) yaitu

Gambar

Cukup sekian ulasan singkat mengenai metode kuantitas pivot untuk memperoleh estimasi interval (confidence interval) dalam artikel ini. Terima kasih telah membaca sampai selesai. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, boleh dibantu share ke teman-temannya, supaya mereka juga bisa belajar dari artikel ini.

Artikel Terkait

Time is free, but it’s priceless. You can’t own it, but you can use it. You can’t keep it, but you can spend it. Once you’ve lost it you can never get it back.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: